Метод бесконечного спуска

Метод бесконечного спуска — метод доказательства от противного, основанный на том, что множество натуральных чисел вполне упорядочено. Существенно развит Пьером Ферма.

Часто используется для доказательства того, что у некоторого уравнения нет решений по следующей схеме: из предположения, что решение существует, доказывается существование другого решения, которое в некотором смысле меньше, тогда можно построить бесконечную цепочку решений, каждое из которых меньше предыдущего, это вызывает противоречие с тем, что в любом непустом подмножестве натуральных чисел есть минимальный элемент, значит предположение о существовании начального решения неверно.

Пример

Для доказательства иррациональности $\sqrt{2}$ с использованием метода бесконечного спуска оно предполагается рациональным числом:

$\sqrt{2}=\frac{p}{q}$

для некоторых натуральных чисел $p$ и $q$. Тогда квадрат этого числа равен:

$2=\frac{p^2}{q^2}$,

то есть $2q^2=p^2$. Это означает, что $p$ — чётное число. Для $p=2r$: $p^2=(2r{)}^2=4r^2$, при подстановке $4r^2$ вместо $p^2$: $2q^2=4r^2$. Деление на 2 обеих частей даёт: $q^2=2r^2$, значит, $q$ — также чётное число. Таким образом, исходные числа $p$ и $q$ можно одновременно разделить на 2 и получить другое представление $\sqrt{2}$. С полученными числами можно проделать ту же операцию, и так далее бесконечное число раз. Таким образом строится бесконечно убывающая последовательность натуральных чисел, что невозможно. То есть, $\sqrt{2}$ не является рациональным числом.

Ссылки

• Шаблон:Статья