Импликация

Шаблон:Булева функция Имплика́ция (от Шаблон:Lang-la «связь; сплетение») — бинарная логическая связка, по своему применению приближенная к союзам «если…, то…».

Импликация записывается как посылка $\Rightarrow$ следствие; применяются также стрелки другой формы и направленные в другую сторону, но всегда указывающие на следствие.

Суждение, выражаемое импликацией, выражается также следующими способамиШаблон:SfnШаблон:Sfn:

• посылка является условием, достаточным для выполнения следствия:
• следствие является условием, необходимым для истинности посылки.

Импликация играет очень важную роль в умозаключениях. С её помощью формулируются определения различных понятий, теоремы, научные законыШаблон:Sfn.

При учёте смыслового содержания высказываний импликация подразумевает причинную связь между посылкой и заключениемШаблон:Sfn.

Булева логика

В булевой логике импликация — это функция двух переменных (они же — операнды операции, они же — аргументы функции). Переменные могут принимать значения из множества $\{0,1\}$. Результат также принадлежит множеству $\{0,1\}$. Вычисление результата производится по простому правилу либо по таблице истинности. Вместо значений $0,1$ может использоваться любая другая пара подходящих символов, например $\mathrm{false},\mathrm{true}$ или $F,T$ или «ложь», «истина».

Правило:

Импликация как булева функция ложна лишь тогда, когда посылка истинна, а следствие ложно. Иными словами, операция $A\to B$ — это сокращённая запись выражения $\mathrm{\neg }A\vee B$.

Таблицы истинности:

Прямая импликация (от a к b, $\mathrm{\neg }A\vee B$) (Шаблон:Нп3, Шаблон:Нп3)

$a$	$b$	$a\to b,a⩽b$
$0$	$0$	$1$
$0$	$1$	$1$
$1$	$0$	$0$
$1$	$1$	$1$

• если первый операнд не больше второго операнда, то 1,
• если $a⩽b$, то истинно (1).

«Житейский» смысл импликации. Для более лёгкого понимания смысла прямой импликации и запоминания её таблицы истинности может пригодиться житейская модель:

А — начальник. Он может приказать «работай» (1) или сказать «делай что хочешь» (0).

В — подчинённый. Он может работать (1) или бездельничать (0).

В таком случае импликация — не что иное, как послушание подчинённого начальнику. По таблице истинности легко проверить, что послушания нет только тогда, когда начальник приказывает работать, а подчинённый бездельничает.

Шаблон:Якорь Обратная импликация (от b к a, $A\vee (\mathrm{\neg }B)$)

$a$	$b$	$a\leftarrow b,a⩾b$
$0$	$0$	$1$
$0$	$1$	$0$
$1$	$0$	$1$
$1$	$1$	$1$

• если первый операнд не меньше второго операнда, то 1,
• если $a⩾b$, то истинно (1).

Обратная импликация — отрицание (негация, инверсия) обнаружения увеличения (перехода от 0 к 1, инкремента).

Шаблон:Якорь Отрицание (инверсия, негация) прямой импликации, коимпликацияШаблон:Sfn ($A\wedge (\mathrm{\neg }B)$)

$a$	$b$	$a\to ̸b,a>b$
$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$0$
$1$	$0$	$1$
$1$	$1$	$0$

• если первый операнд больше второго операнда, то 1,
• если $a>b$, то истинно (1).

Шаблон:Якорь Отрицание (инверсия, негация) обратной импликации, обратная коимпликация ($\mathrm{\neg }A\wedge B$), разряд займа в двоичном полувычитателе.

$a$	$b$	$a\leftarrow ̸b,a<b$
$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$
$1$	$0$	$0$
$1$	$1$	$0$

• если первый операнд меньше второго операнда, то 1,
• если $a<b$, то истинно (1).

Другими словами, две импликации (прямая и обратная) и две их инверсии — это четыре оператора отношений. Результат операций зависит от перемены мест операндов.

Синонимические импликации выражения в русском языке

• Если А, то Б
• Б в том случае, если А
• При А будет Б
• Из А следует Б
• В случае А произойдёт Б
• Б, так как А
• Б, потому что А
• А — достаточное условие для Б
• Б — необходимое условие для А
• А имплицирует Б
• А влечёт Б

Теория множеств

Импликация высказываний означает, что одно из них следует из другого. Импликация обозначается символом $\Rightarrow$, и ей соответствует вложение множеств: пусть $A\subset B$, тогда

$x\in A\Rightarrow x\in B.$

Например, если $A$ — множество всех квадратов, а $B$ — множество прямоугольников, то, конечно, $A\subset B$ и

(a — квадрат) $\Rightarrow$ (a — прямоугольник).

(если a является квадратом, то a является прямоугольником).

Классическая логика

В классическом исчислении высказываний свойства импликации определяются с помощью аксиом.

Можно доказать эквивалентность импликации $A\to B$ формуле $\mathrm{\neg }A\vee B$ (с первого взгляда более очевидна её эквивалентность формуле $\mathrm{\neg }(A\wedge \mathrm{\neg }B)$, которая принимает значение «ложь» в случае, если выполняется A (посылка), но не выполняется B (следствие)). Поэтому любое высказывание можно заменить на эквивалентное ему без знаков импликации.

Интуиционистская логика

В интуиционистской логике импликация никоим образом не сводится к отрицаниям. Скорее напротив, отрицание ¬A можно представить в виде $A\to ⊭$, где $⊭$ — пропозициональная константа «ложь». Впрочем, такое представление отрицания возможно и в классической логике.

В интуиционистской теории типов импликации соответствует множество (тип) отображений из A в B.

Логика силлогизмов

В учении о силлогизмах импликации отвечает «общеутвердительное атрибутивное высказывание».

Лингвистика

В лингвистике под импликацией (от Шаблон:Lang-la — вплетать, впутывать) понимается использование в предложении неявных (имплицитных) словесных выражений, в том числе недосказанность в виде упущения одного или нескольких существительных в определительной цепочкеШаблон:Нет АИ. Так, например, А. Д. Швейцер и Б. Н. Климзо в своих трудах для переводчиков с английского языка и на английскийШаблон:Каких? выделяют 7 типов импликаций, которые надо учитывать: первые должны устранять в своих переводах импликации, неприемлемые в русском языке, а вторым полезно использовать английские импликации с целью компрессии текста.

См. также

• Тождество
• Обратная импликация
• Таблица истинности

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Барабанов О. О. Импликация / Труды XI международных Колмогоровских чтений: сборник статей. — Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2013. — С. 49—53.
• Климзо Б. Н. Ремесло технического переводчика. — Шаблон:М.: Р.Валент, 2003. — 288 с. — С. 75—84.
• Швейцер А. Д. Перевод и лингвистика. — Шаблон:М.: Воениздат, 1973.

Ссылки

• Импликация и эквивалентность
• Импликация в учебнике MathIt