Бесконечное множество

Бесконе́чное мно́жество — множество, не являющееся конечным. Можно дать ещё несколько эквивалентных определений бесконечного множества:

• Множество, в котором для любого натурального числа $n$ найдётся конечное подмножество из $n$ элементов.
• Множество, в котором найдётся счётное подмножество.
• Множество, в котором найдётся подмножество, равномощное некоторому (ненулевому) предельному ординалу.
• Множество, для которого существует биекция с некоторым его собственным подмножеством.

Для любого бесконечного множества существует множество с ещё большей мощностью — таким образом, не существует бесконечного множества наибольшей мощности. Мощности бесконечных множеств называются алефами («алеф», א — первая буква еврейского алфавита) и обозначаются ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha },$ где индекс $\alpha$ пробегает все порядковые числа. Мощности бесконечных множеств составляют вполне упорядоченный класс — наименьшей мощностью бесконечного множества является ${\mathrm{\aleph }}_0$ (алеф-0, мощность множества натуральных чисел), за ним следуют ${\mathrm{\aleph }}_1,{\mathrm{\aleph }}_2,\dots {\mathrm{\aleph }}_{\omega },{\mathrm{\aleph }}_{\omega +1},\dots {\mathrm{\aleph }}_{{\omega }_1},\dots {\mathrm{\aleph }}_{{\omega }_{{\omega }_1}},\dots$

Примеры

• Множества натуральных чисел $\mathbb{N},$ целых чисел $\mathbb{Z},$ рациональных чисел $\mathbb{Q},$ действительных чисел $ℝ,$ комплексных чисел $ℂ$ — являются бесконечными множествами.
• Множество функций $\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ является бесконечным.
• Упорядоченное бесконечное множество может иметь "концы" (минимальный и максимальный элементы) — например, множество рациональных чисел на отрезке $[0,1].$
• Совокупность всех бесконечных подмножеств счётного множества является несчётным бесконечным множеством.

См. также

• Бесконечность
• Кардинальное число
• Аксиоматика теории множеств
• Теорема Кантора — Бернштейна
• Континуум
• Континуум-гипотеза