Сопряжённые числа

Геометрическое представление $z$ и его сопряжённого $\overline{z}$ на комплексной плоскости

Сопряжённые числа (комплексно-сопряжённые числа) — пара комплексных чисел, обладающих одинаковыми действительными частями и равными по абсолютной величине, но противоположными по знаку, мнимыми частями. Например, сопряжёнными являются числа $3+4i$ и $3-4i$. Число, сопряжённое к числу $z$, обозначается $\bar{z}$. В общем случае, сопряжённым к числу $z=a+ib$ (где $a$ и $b$ — действительные числа) является $\bar{z}=a-ib$.

Например:

$\overline{3-2i}=3+2i$

$\bar{7}=7$

$\bar{i}=-i.$

На комплексной плоскости сопряжённые числа представлены точками, симметричными относительно действительной оси. В полярной системе координат сопряжённые числа имеют вид $r{e}^{i\varphi }$ и $r{e}^{-i\varphi }$, что непосредственно следует из формулы Эйлера.

Сопряжёнными числами являются корни квадратного уравнения с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом.

Свойства

Для произвольных комплексных чисел $z$ и $w$:

• $\overline{z\pm w}=\bar{z}\pm \bar{w}$,
• $\overline{zw}=\bar{z}\bar{w}$
• $\bar{z}=z\iff z$ является действительным числом,
• $\overline{z^n}=\stackrel{n}{\stackrel{‾}{z}}$ для всех целых $n$,
• $\left|\bar{z}\right|=\left|z\right|$,
• ${\left|z\right|}^2=z\bar{z}=\bar{z}z$,
• $\overline{\stackrel{‾}{z}}=z$ (то есть, сопряжение является инволюцией),
• $z^{-1}=\frac{\bar{z}}{{\left|z\right|}^2}$, если $z$ не равно нулю. С помощью этого свойства вычисляют обратное комплексного числа заданного в прямоугольных координатах.

Если $\varphi$ является голоморфной функцией, сужение которой на множество действительных чисел является действительной функцией, и определены $\varphi (z)$, то:

$\varphi (\bar{z})=\overline{\varphi (z)}$.

В частности:

• $\exp (\bar{z})=\overline{\exp (z)}$
• $\log (\bar{z})=\overline{\log (z)}$, если $z$ не равно нулю.
• если $p$ — полином с действительными коэффициентами и $p(z)=0$, то также $p(\bar{z})=0$, то есть комплексные (не действительные) корни таких многочленов всегда образуют комплексно-сопряжённые пары.

Определение координат числа и сопряжения

Прямоугольные и полярные координаты комплексного числа могут быть определены с помощью формул:

• $x=\mathrm{Re}(z)=(z+\bar{z})/2$
• $y=\mathrm{Im}(z)=(z-\bar{z})/2i$
• $\rho =\left|z\right|=\sqrt{z\cdot \bar{z}}$
• $e^{i\theta }=z/\left|z\right|=e^{i\arg z}=\sqrt{z/\bar{z}}$ (если $z$ не равно нулю).

Литература

• Шаблон:Книга