Эллиптические функции Якоби

Эллиптические функции Якоби — это набор основных эллиптических функций комплексного переменного и вспомогательных тета-функций, которые имеют прямое отношение к некоторым прикладным задачам (например, уравнение маятника). Они также имеют полезные аналогии с тригонометрическими функциями, как показывает соответствующее обозначение $\mathrm{s}\mathrm{n}$ для $\sin$. Они не дают самый простой способ развить общую теорию, как замечено недавно: это может быть сделано на основе эллиптических функций Вейерштрасса. Эллиптические функции Якоби имеют в основном параллелограмме по два простых полюса и два простых нуля.

Введение

Существует эллиптическая функция, имеющая в основном параллелограмме один полюс второго порядка и два простых нуля; это — «эллиптическая функция Вейерштрасса». Впрочем, более полезны «эллиптические функции Якоби», имеющие по два простых полюса и по два простых нуля в каждом основном параллелограмме. Каждая из этих функций в основном параллелограмме принимает любое значение в точности два раза.

Обозначение

Для эллиптических функций можно встретить разнообразные обозначения, которые могут запутать суть дела. Эллиптические функции — функции двух переменных. Первую переменную можно дать в терминах амплитуды $\phi$, или обычно, в терминах $u$, данного ниже. Вторую переменную можно было бы дать в терминах параметра $m$, или как эллиптический модуль $k$, где $k^2=m$, или в терминах модулярного угла $\text{æ}$, где $m={\sin }^2\text{æ}$.

Определение как обратные к эллиптическим интегралам

Приведённое выше определение в терминах мероморфных функций абстрактно. Существует более простое, но абсолютно эквивалентное определение, задающее эллиптические функции как обратные к неполному эллиптическому интегралу первого рода. Пусть

$u=\underset{0}{\overset{\phi }{\int }}\frac{d\theta }{\sqrt{1-m{\sin }^2\theta }}.$

Эллиптическая функция $\mathrm{sn}u$ задаётся как

$\mathrm{sn}u=\sin \phi$

и $\mathrm{cn}u$ определяется

$\mathrm{cn}u=\cos \phi ,$

а

$\mathrm{dn}u=\sqrt{1-m{\sin }^2\phi }.$

Здесь угол $\phi$ называется амплитудой. $\mathrm{dn}u=\mathrm{\Delta }(u)$ называется дельта амплитудой. Значение $m$ является свободным параметром, который полагается реальным в диапазоне $0⩽m⩽1$, и таким образом эллиптические функции являются функциями двух аргументов: амплитуды $\phi$ и параметра $m$.

Оставшиеся девять эллиптических функций легко построить из трёх вышеприведённых. Это будет сделано ниже.

Заметьте, что когда $\phi =\pi /2$, то $u$ равен четверти периода $K$.

Определение в терминах тета-функций

Эквивалентно эллиптические функции Якоби можно определить в терминах θ-функций. Если мы определим $\vartheta (0;\tau )$ как $\vartheta$, и ${\vartheta }_{01}(0;\tau ),{\vartheta }_{10}(0;\tau ),{\vartheta }_{11}(0;\tau )$ соответственно как ${\vartheta }_{01},{\vartheta }_{10},{\vartheta }_{11}$ (тета константы) тогда эллиптический модуль $k$ равен $k={\left(\frac{{\vartheta }_{10}}{\vartheta }\right)}^2$. Полагая $u=\pi {\vartheta }^{2}z$, получим

$\mathrm{sn}(u;k)=-\frac{\vartheta {\vartheta }_{11}(z;\tau )}{{\vartheta }_{10}{\vartheta }_{01}(z;\tau )},$

$\mathrm{cn}(u;k)=\frac{{\vartheta }_{01}{\vartheta }_{10}(z;\tau )}{{\vartheta }_{10}{\vartheta }_{01}(z;\tau )},$

$\mathrm{dn}(u;k)=\frac{{\vartheta }_{01}\vartheta (z;\tau )}{\vartheta {\vartheta }_{01}(z;\tau )}.$

Поскольку функции Якоби определяются в терминах эллиптического модуля $k(\tau )$, необходимо найти обратные к ним и выразить $\tau$ в терминах $k$. Начнём с дополнительного модуля $k^{\prime }=\sqrt{1-k^2}$. Как функция $\tau$ запишем

$k^{\prime }(\tau )={\left(\frac{{\vartheta }_{01}}{\vartheta }\right)}^2.$

Введём обозначение

$\ell =\frac{1}{2}\frac{1-\sqrt{k^{\prime }}}{1+\sqrt{k^{\prime }}}=\frac{1}{2}\frac{\vartheta -{\vartheta }_{01}}{\vartheta +{\vartheta }_{01}}.$

Определим также ном $q$ как $q=\exp (\pi i\tau )$ и разложим $\ell$ в ряд по степеням нома $q$. Получим

$\ell =\frac{q+q^9+q^{25}+\dots }{1+2q^4+2q^{16}+\dots }.$

Обращение ряда даёт

$q=\ell +2{\ell }^5+15{\ell }^9+150{\ell }^{13}+1707{\ell }^{17}+20910{\ell }^{21}+268616{\ell }^{25}+\dots$

Поскольку мы можем рассмотреть частный случай когда мнимая часть $\tau$ больше или равна $\sqrt{3}/2$, мы можем сказать, что значение $q$ меньше или равно $\exp (-\pi \sqrt{3}/2)$. Для таких малых значений вышеприведённый ряд сходится очень быстро, и это позволяет легко найти подходящее значение для $q$.

Другие функции

Изменением порядка двух букв в названии функций обычно обозначают обратные к трём функциям приведённых выше:

$\mathrm{ns}(u)=1/\mathrm{sn}(u),$

$\mathrm{nc}(u)=1/\mathrm{cn}(u),$

$\mathrm{nd}(u)=1/\mathrm{dn}(u).$

Отношения трёх главных функций обозначают первой буквой числителя, следующей перед первой буквой знаменателя:

$\mathrm{sc}(u)=\mathrm{sn}(u)/\mathrm{cn(u)},$

$\mathrm{sd}(u)=\mathrm{sn}(u)/\mathrm{dn(u)},$

$\mathrm{dc}(u)=\mathrm{dn}(u)/\mathrm{cn(u)},$

$\mathrm{ds}(u)=\mathrm{dn}(u)/\mathrm{sn(u)},$

$\mathrm{cs}(u)=\mathrm{cn}(u)/\mathrm{sn(u)},$

$\mathrm{cd}(u)=\mathrm{cn}(u)/\mathrm{dn(u)}.$

Более кратко запишем

$\mathrm{pq}(u)=\frac{\mathrm{pr}(u)}{\mathrm{qr(u)}},$

где все буквы $\mathrm{p}$, $\mathrm{q}$, и $\mathrm{r}$ являются любыми буквами $\mathrm{s}$, $\mathrm{c}$, $\mathrm{d}$, $\mathrm{n}$ (следует помнить, что $\mathrm{ss}=\mathrm{cc}=\mathrm{dd}=\mathrm{nn}=1$).

Дополнительные теоремы

Функции удовлетворяют двум алгебраическим соотношениям

${\mathrm{cn}}^2+{\mathrm{sn}}^2=1,$

${\mathrm{dn}}^2+k^2{\mathrm{sn}}^2=1.$

Видно, что ($\mathrm{cn}$, $\mathrm{sn}$, $\mathrm{dn}$) параметризует эллиптическую кривую, которая является пересечением двух квадрик определённой вышеупомянутыми двумя уравнениями. Мы теперь можем определить групповой закон для точек на этой кривой с помощью дополнительных формул для функций Якоби

$\mathrm{cn}(x+y)=\frac{\mathrm{cn}(x)\mathrm{cn}(y)-\mathrm{sn}(x)\mathrm{sn}(y)\mathrm{dn}(x)\mathrm{dn}(y)}{1-k^2{\mathrm{sn}}^2(x){\mathrm{sn}}^2(y)},$

$\mathrm{sn}(x+y)=\frac{\mathrm{sn}(x)\mathrm{cn}(y)\mathrm{dn}(y)+\mathrm{sn}(y)\mathrm{cn}(x)\mathrm{dn}(x)}{1-k^2{\mathrm{sn}}^2(x){\mathrm{sn}}^2(y)},$

$\mathrm{dn}(x+y)=\frac{\mathrm{dn}(x)\mathrm{dn}(y)-k^2\mathrm{sn}(x)\mathrm{sn}(y)\mathrm{cn}(x)\mathrm{cn}(y)}{1-k^2{\mathrm{sn}}^2(x){\mathrm{sn}}^2(y)}.$

Тригонометрические и гиперболические функции, как частный случай эллиптических

• Если $m=1$, то

$u=\underset{0}{\overset{\phi }{\int }}\frac{d\theta }{\sqrt{1-{\sin }^2\theta }}=\ln (\frac{1}{\cos \phi }-\mathrm{tg}\phi ).$

Отсюда

$\sin \phi =\mathrm{sn}u=\frac{e^{2u}-1}{e^{2u}+1}=\mathrm{th}u.$

Отсюда

$\mathrm{cn}u=\sqrt{1-{\mathrm{sn}}^{2}u}=\frac{1}{\mathrm{ch}u}$

и

$\mathrm{dn}u=\sqrt{1-{\mathrm{sn}}^{2}u}=\frac{1}{\mathrm{ch}u}.$

Таким образом, при $m=1$ эллиптические функции вырождаются в гиперболические.

• Если $m=0$, то

$u=\underset{0}{\overset{\phi }{\int }}d\theta =\phi .$

Отсюда

$\sin \phi =\sin u=\mathrm{sn}u,$

а также

$\mathrm{cn}u=\cos u,$

$\mathrm{dn}u=1.$

Таким образом, при $m=0$ эллиптические функции вырождаются в тригонометрические.

Соотношение между квадратами функций

Для квадратов этих функций верны следующие соотношения

$-{\mathrm{dn}}^2(u)+m_1=-m{\mathrm{cn}}^2(u)=m{\mathrm{sn}}^2(u)-m,$

$-m_1{\mathrm{nd}}^2(u)+m_1=-m{m}_1{\mathrm{sd}}^2(u)=m{\mathrm{cd}}^2(u)-m,$

$m_1{\mathrm{sc}}^2(u)+m_1=m_1{\mathrm{nc}}^2(u)={\mathrm{dc}}^2(u)-m,$

${\mathrm{cs}}^2(u)+m_1={\mathrm{ds}}^2(u)={\mathrm{ns}}^2(u)-m,$

где $m+m_1=1$ и $m=k^2$.

Дополнительные равенства для квадратов можно получить если заметить, что ${\mathrm{pq}}^2\cdot {\mathrm{qp}}^2=1$, а также $\mathrm{pq}=\mathrm{pr}/\mathrm{qr}$, где $\mathrm{p}$, $\mathrm{q}$, $\mathrm{r}$ — любые буквы $\mathrm{s}$, $\mathrm{c}$, $\mathrm{d}$, $\mathrm{n}$ и $\mathrm{ss}=\mathrm{cc}=\mathrm{dd}=\mathrm{nn}=1$.

Ном

Пусть ном равен $q=\exp (-\pi K^{\prime }/K)$ и пусть аргумент — $v=\pi u/(2K)$. Тогда функции можно представить в виде сумм Ламберта

$\mathrm{sn}(u)=\frac{2\pi }{K\sqrt{m}}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^{n+1/2}}{1-q^{2n+1}}\sin (2n+1)v,$

$\mathrm{cn}(u)=\frac{2\pi }{K\sqrt{m}}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^{n+1/2}}{1+q^{2n+1}}\cos (2n+1)v,$

$\mathrm{dn}(u)=\frac{\pi }{2K}+\frac{2\pi }{K}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^n}{1+q^{2n}}\cos 2nv.$

Решения нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений

Производные трёх основных эллиптических функций Якоби записываются в виде:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\mathrm{s}\mathrm{n}(z;k)=\mathrm{c}\mathrm{n}(z;k)\mathrm{d}\mathrm{n}(z;k),$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\mathrm{c}\mathrm{n}(z;k)=-\mathrm{s}\mathrm{n}(z;k)\mathrm{d}\mathrm{n}(z;k),$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\mathrm{d}\mathrm{n}(z;k)=-k^2\mathrm{s}\mathrm{n}(z;k)\mathrm{c}\mathrm{n}(z;k).$

Используя теорему, формулировка которой приведена выше получим для заданного $k$ ($0<k<1$) уравнения решениями которых являются эллиптические функции Якоби:

• $\mathrm{s}\mathrm{n}(x;k)$ является решением уравнения $\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}+(1+k^2)y-2k^2{y}^3=0$ и ${\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)}^2=(1-y^2)(1-k^2{y}^2);$

• $\mathrm{c}\mathrm{n}(x;k)$ является решением уравнения $\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}+(1-2k^2)y+2k^2{y}^3=0$ и ${\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)}^2=(1-y^2)(1-k^2+k^2{y}^2);$

• $\mathrm{d}\mathrm{n}(x;k)$ является решением уравнения $\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}-(2-k^2)y+2y^3=0$ и ${\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)}^2=(y^2-1)(1-k^2-y^2).$

Ссылки

• Шаблон:MathWorld
• Эллиптические функцииШаблон:Недоступная ссылка — Процедуры для Matlab

Литература

• Шаблон:ВТ-ЭСБЕ
• Шаблон:Книга See Chapter 16

• Шаблон:Книга

• Шаблон:Книга или Москва: УРСС, 2010