Тета-функция

Оригинальная тета-функция Якоби ${\theta }_1$ с $u=i\pi z$ и Шаблон:Не переведено 5 $q=e^{i\pi \tau }=0,1e^{0,1i\pi }$}}. Соглашения:
$\begin{array}{cc}{\theta }_1(u;q)& =2q^{\frac{1}{4}}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{q}^{n(n+1)}\sin (2n+1)u\\ & =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{n=\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-\frac{1}{2}}{q}^{{(n+\frac{1}{2})}^2}{e}^{(2n+1)iu}\end{array}$

Тета-функции — это специальные функции от нескольких комплексных переменных. Они играют важную роль во многих областях, включая теории абелевых многообразий, пространства модулей и квадратичных форм. Они применяются также в теории солитонов. После обобщения к алгебре Грассмана функции появляются также в квантовой теории поляШаблон:Sfn.

Наиболее распространённый вид тета-функций — это функции, встречающиеся в теории эллиптических функций. По отношению к одной из комплексных переменных (обычно обозначаемой Шаблон:Mvar) тета-функция имеет свойство, выражающееся в сложении периодов ассоциированных эллиптических функций, что делает их Шаблон:Не переведено 5. В абстрактной теории это получается из условия Шаблон:Не переведено 5 Шаблон:Не переведено 5.

Тета-функция Якоби

Тета-функция 1 Якоби

Тета-функция 2 Якоби

Тета-функция 3 Якоби

Тета-функция 4 Якоби

Имеется несколько связанных функций, которые называются тета-функциями Якоби, и много различных и несовместимых систем их обозначения. Одна тета-функция Якоби (названа именем Карла Густава Якоби), это функция, определённая от 2 комплексных переменных Шаблон:Mvar и $\tau$, где Шаблон:Mvar может быть любым комплексным числом, а $\tau$ ограничена верхней половиной плоскости, что означает, что число имеет положительную мнимую часть. Функция задаётся формулой

$\begin{array}{cc}\vartheta (z;\tau )& =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\exp (\pi i{n}^2\tau +2\pi inz)=\\ & =1+2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(e^{\pi i\tau }\right)}^{n^2}\cos (2\pi nz)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{q}^{n^2}{\eta }^n,\end{array}$

где $q=\exp (\pi i\tau )$ и $\eta =\exp (2\pi iz)$. Функция является Шаблон:Не переведено 5. Если фиксировать $\tau$, функция становится рядом Фурье для периодической целой функции от Шаблон:Mvar с периодом 1. В этом случае тета-функция удовлетворяет тождеству

$\vartheta (z+1;\tau )=\vartheta (z;\tau ).$

Функция ведёт себя очень регулярно с учётом квазипериода $\tau$ и удовлетворяет функциональному уравнению

$\vartheta (z+a+b\tau ;\tau )=\exp (-\pi i{b}^2\tau -2\pi ibz)\vartheta (z;\tau ),$

где Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar — целые числа.

Тета-функция ${\theta }_1$ с различными Шаблон:Не переведено 5 $q=e^{i\pi \tau }$. Чёрная точка на правом рисунке показывает, как меняется Шаблон:Mvar при изменении $\tau$

Тета-функция ${\theta }_1$ с различными Шаблон:Не переведено 5 $q=e^{i\pi \tau }$. Чёрная точка на правом рисунке показывает, как меняется Шаблон:Mvar при изменении $\tau$

Вспомогательные функции

Тета-функция Якоби, определённая выше, иногда рассматривается вместе с тремя дополнительными тета-функциями и в этом случае записывается с дополнительным индексом 0:

${\vartheta }_{00}(z;\tau )=\vartheta (z;\tau )$

Дополнительные (полупериодичные) функции определяются формулами

$\begin{array}{cc}{\vartheta }_{01}(z;\tau )& =\vartheta (z+\frac{1}{2};\tau )\\ {\vartheta }_{10}(z;\tau )& =\exp (\frac{1}{4}\pi i\tau +\pi iz)\vartheta (z+\frac{1}{2}\tau ;\tau )\\ {\vartheta }_{11}(z;\tau )& =\exp (\frac{1}{4}\pi i\tau +\pi i(z+\frac{1}{2}))\vartheta (z+\frac{1}{2}\tau +\frac{1}{2};\tau ).\end{array}$

Этим обозначениям следовали Риман и Мамфорд. Первоначальная формулировка Якоби была в терминах Шаблон:Не переведено 5 $q=e^{i\pi \tau }$, а не $\tau$. В обозначениях Якоби Шаблон:Mvar-функции записываются в виде:

$\begin{array}{cc}{\theta }_1(z;q)& =-{\vartheta }_{11}(z;\tau )\\ {\theta }_2(z;q)& ={\vartheta }_{10}(z;\tau )\\ {\theta }_3(z;q)& ={\vartheta }_{00}(z;\tau )\\ {\theta }_4(z;q)& ={\vartheta }_{01}(z;\tau )\end{array}$

Приведённые выше определения тета-функции Якоби далеко не единственные. См. статью Шаблон:Не переведено 5 с дальнейшим обсуждением.

Если мы положим $z=0$ в тета-функциях выше, мы получим четыре функции, зависящие только от $\tau$ и определённые на верхней полуплоскости (которые иногда называются тета-константами.) Они могут быть использованы для определения различных модулярных форм и для параметризации некоторых кривых.

Тождества основная

Так называемые функции «тета-нульверт» (Theta-Nullwert) имеют следующее представление суммы и следующее представление произведения:

${\vartheta }_{00}(x)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}^{k^2}=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-x^{2n})(1+x^{2n-1}{)}^2$

${\vartheta }_{01}(x)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k{x}^{k^2}=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-x^{2n})(1-x^{2n-1}{)}^2$

${\vartheta }_{10}(x)=x^{1/4}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}^{k(k+1)}=2x^{1/4}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-x^{2n})(1+x^{2n}{)}^2$

Тета-функция удовлетворяет следующему основному соотношению с «номеном q»:

${\vartheta }_{00}[q(k)]=\sqrt{2{\pi }^{-1}K(k)}$

${\vartheta }_{01}[q(k)]=\sqrt[4]{1-k^2}\sqrt{2{\pi }^{-1}K(k)}$

${\vartheta }_{10}[q(k)]=\sqrt{|k|}\sqrt{2{\pi }^{-1}K(k)}$

$q(k)=\exp [-\pi K(\sqrt{1-k^2})/K(k)]$

Следующие 2 формулы определяют полный эллиптический интеграл 1-го типа и согласуются друг с другом:

$K(\epsilon )=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{\sqrt{(1-x^2)(1-{\epsilon }^2{x}^2)}}\mathrm{d}x$

$K(\epsilon )=\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\frac{1}{\sqrt{1-{\epsilon }^2\sin (\phi {)}^2}}\mathrm{d}\phi$

Тождества Якоби

В частности Тождества Якоби определяется следующей формулой:

${\vartheta }_{00}(0;\tau {)}^4={\vartheta }_{01}(0;\tau {)}^4+{\vartheta }_{10}(0;\tau {)}^4$

${\vartheta }_{00}(q{)}^4={\vartheta }_{01}(q{)}^4+{\vartheta }_{10}(q{)}^4$

Эта формула представляет собой кривой Ферма 4 степени.

Тождества Якоби также возникает как комбинация 3 квадратичных соотношений:

$2{\vartheta }_{00}(q^2{)}^2={\vartheta }_{00}(q{)}^2+{\vartheta }_{01}(q{)}^2$

$2{\vartheta }_{10}(q^2{)}^2={\vartheta }_{00}(q{)}^2-{\vartheta }_{01}(q{)}^2$

${\vartheta }_{10}(q{)}^2=2{\vartheta }_{10}(q^2){\vartheta }_{00}(q^2)$

Объединение этих 3 формул даёт следующую формулу:

${\vartheta }_{10}(q{)}^4={\vartheta }_{00}(q{)}^4-{\vartheta }_{01}(q{)}^4$

Тождества Якоби описывают, как тета-функции преобразуются модулярной группой, которая порождается отображениями $\tau \mapsto \tau +1$ и $\tau \mapsto -\frac{1}{\tau }$. Тождества для первого преобразования найти легко, поскольку добавление единицы в показателе к $\tau$ имеет тот же эффект, что и добавление $\frac{1}{2}$ к Шаблон:Mvar ($n\equiv n^2$ mod 2). Во 2 случае положим

$\alpha =(-i\tau {)}^{\frac{1}{2}}\exp \left(\frac{\pi }{\tau }i{z}^2\right).$

Тогда

$\begin{array}{cccc}{\vartheta }_{00}(\frac{z}{\tau };\frac{-1}{\tau })& =\alpha {\vartheta }_{00}(z;\tau )& {\vartheta }_{01}(\frac{z}{\tau };\frac{-1}{\tau })& =\alpha {\vartheta }_{10}(z;\tau )\\ {\vartheta }_{10}(\frac{z}{\tau };\frac{-1}{\tau })& =\alpha {\vartheta }_{01}(z;\tau )& {\vartheta }_{11}(\frac{z}{\tau };\frac{-1}{\tau })& =-i\alpha {\vartheta }_{11}(z;\tau ).\end{array}$

Тета-функции в терминах нома

Вместо выражения тета-функций в терминах Шаблон:Mvar и $\tau$ мы можем выразить их в терминах аргумента Шаблон:Mvar и Шаблон:Не переведено 5 Шаблон:Mvar, где $w=e^{\pi iz}$, а $q=e^{\pi i\tau }$. В этом случае функции превращаются в

$\begin{array}{cccc}{\vartheta }_{00}(w,q)& =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(w^2{)}^n{q}^{n^2}& {\vartheta }_{01}(w,q)& =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n(w^2{)}^n{q}^{n^2}\\ {\vartheta }_{10}(w,q)& =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(w^2{)}^{n+\frac{1}{2}}{q}^{{(n+\frac{1}{2})}^2}& {\vartheta }_{11}(w,q)& =i\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n(w^2{)}^{n+\frac{1}{2}}{q}^{{(n+\frac{1}{2})}^2}.\end{array}$

Мы видим, что тета-функции можно определить в терминах Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar без прямой ссылки на экспоненциальную функцию. Формулы могут быть использованы, поэтому, для определения тета-функций над другими полями, где экспоненциальная функция может быть не везде определена, такими как поле [[p-адическое число|Шаблон:Mvar-адических чисел]].

Представления произведений

Тройное произведение Якоби (специальный случай Шаблон:Не переведено 5) говорит нам, что для комплексных чисел Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar с $|q|<1$ и $w\ne 0$ мы имеем

$\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(1-q^{2m})(1+w^2{q}^{2m-1})(1+w^{-2}{q}^{2m-1})=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{w}^{2n}{q}^{n^2}.$

Это можно доказать элементарными средствами, как, например, в книге Харди и Райта Шаблон:Не переведено 5.

Если мы выразим тета-функцию в терминах томов $q=e^{\pi i\tau }$ и $w=e^{\pi iz}$, то

$\vartheta (z;\tau )=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\exp (\pi i\tau n^2)\exp (2\pi izn)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{w}^{2n}{q}^{n^2}.$

Мы поэтому получаем формулу произведения для тета-функции вида

$\vartheta (z;\tau )=\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\exp (2m\pi i\tau ))(1+\exp ((2m-1)\pi i\tau +2\pi iz\left)\right)(1+\exp ((2m-1)\pi i\tau -2\pi iz\left)\right).$

В терминах Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar:

$\begin{array}{cc}\vartheta (z;\tau )& =\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(1-q^{2m})(1+q^{2m-1}{w}^2)(1+\frac{q^{2m-1}}{w^2})\\ & ={(q^2;q^2)}_{\mathrm{\infty }}{(-w^{2}q;q^2)}_{\mathrm{\infty }}{(-\frac{q}{w^2};q^2)}_{\mathrm{\infty }}\\ & ={(q^2;q^2)}_{\mathrm{\infty }}\theta (-w^{2}q;q^2)\end{array}$

где $(;{)}_{\mathrm{\infty }}$ является [[q-символ Похгаммера|Шаблон:Mvar-символом Похгаммера]], а $\theta (;)$ является Шаблон:Не переведено 5. Если раскрыть скобки, тройное произведение Якоби получит вид

$\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(1-q^{2m})(1+(w^2+w^{-2})q^{2m-1}+q^{4m-2}),$

что можно также переписать в виде

$\vartheta (z\mid q)=\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(1-q^{2m})(1+2\cos (2\pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}).$

Эта формула верна для общего случая, но представляет особый интерес при вещественных Шаблон:Mvar. Аналогичные формулы произведений для дополнительных тета-функций

$\begin{array}{cc}{\vartheta }_{01}(z\mid q)& =\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(1-q^{2m})(1-2\cos (2\pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}),\\ {\vartheta }_{10}(z\mid q)& =2q^{\frac{1}{4}}\cos (\pi z)\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(1-q^{2m})(1+2\cos (2\pi z)q^{2m}+q^{4m}),\\ {\vartheta }_{11}(z\mid q)& =-2q^{\frac{1}{4}}\sin (\pi z)\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(1-q^{2m})(1-2\cos (2\pi z)q^{2m}+q^{4m}).\end{array}$

Интегральные представления

Тета-функции Якоби имеют следующие интегральные представления:

$\begin{array}{cc}{\vartheta }_{00}(z;\tau )& =-i\underset{i-\mathrm{\infty }}{\overset{i+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{i\pi \tau u^2}\frac{\cos (2uz+\pi u)}{\sin (\pi u)}\mathrm{d}u;\\ {\vartheta }_{01}(z;\tau )& =-i\underset{i-\mathrm{\infty }}{\overset{i+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{i\pi \tau u^2}\frac{\cos (2uz)}{\sin (\pi u)}\mathrm{d}u;\\ {\vartheta }_{10}(z;\tau )& =-i{e}^{iz+\frac{1}{4}i\pi \tau }\underset{i-\mathrm{\infty }}{\overset{i+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{i\pi \tau u^2}\frac{\cos (2uz+\pi u+\pi \tau u)}{\sin (\pi u)}\mathrm{d}u;\\ {\vartheta }_{11}(z;\tau )& =e^{iz+\frac{1}{4}i\pi \tau }\underset{i-\mathrm{\infty }}{\overset{i+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{i\pi \tau u^2}\frac{\cos (2uz+\pi \tau u)}{\sin (\pi u)}\mathrm{d}u.\end{array}$

Явные значения

Лемнискатические значения

См. статью Джинхи Йи (2004)Шаблон:Sfn.

${\vartheta }_{00}(e^{-\pi x})=\vartheta (0;ix)={\theta }_3(0;e^{-\pi x})=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\exp (-\pi x{n}^2)$

${\vartheta }_{01}(e^{-\pi x})={\theta }_4(0;e^{-\pi x})=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\exp (-\pi x{n}^2)$

${\vartheta }_{10}(e^{-\pi x})={\theta }_2(0;e^{-\pi x})=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\exp [-\pi x(n+\frac{1}{2}{)}^2]$

В следующей таблице приведены лемнискатические значения функций Шаблон:Math и Шаблон:Math:

Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math
${\text{e}}^{-\pi }$	$\sqrt[4]{\pi }{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{4}\right)}^{-1}{2}^{-1/4}=\sqrt{G}$	$\sqrt[4]{\pi }{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{4}\right)}^{-1}=2^{1/4}\sqrt{G}$
${\text{e}}^{-2\pi }$	$\sqrt[4]{\pi }{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{4}\right)}^{-1}{2}^{-3/4}\sqrt{\sqrt{2}-1}$	$\sqrt[4]{\pi }{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{4}\right)}^{-1}{2}^{-3/4}\sqrt{\sqrt{2}+1}$
${\text{e}}^{-3\pi }$	$\sqrt[4]{\pi }{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{4}\right)}^{-1}{2}^{-3/2}{3}^{-3/8}\sqrt{\sqrt{3}-1}(\sqrt{3}+1-\sqrt[4]{12})$	$\sqrt[4]{\pi }{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{4}\right)}^{-1}{2}^{-1/4}{3}^{-3/8}\sqrt{\sqrt{3}+1}$
${\text{e}}^{-4\pi }$	$\sqrt[4]{\pi }{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{4}\right)}^{-1}{2}^{-5/4}(\sqrt[4]{2}-1)$	$\sqrt[4]{\pi }{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{4}\right)}^{-1}{2}^{-5/4}(\sqrt[4]{2}+1)$
${\text{e}}^{-5\pi }$	$\sqrt[4]{\pi }{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{4}\right)}^{-1}{2}^{-5/4}{5}^{-1/2}(\sqrt[4]{5}-1{)}^2{\mathrm{\Phi }}^{-1/2}$	$\sqrt[4]{\pi }{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{4}\right)}^{-1}{5}^{-1/2}{\mathrm{\Phi }}^{3/2}$

Дополнительные значения для Шаблон:Math:

${\vartheta }_{00}({\text{e}}^{-6\pi })=\sqrt[4]{\pi }{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{4}\right)}^{-1}{2}^{-2}{3}^{-3/8}\sqrt{\cot (\frac{1}{24}\pi )}(\sqrt[4]{3}+1)(\sqrt{3}+1-\sqrt[4]{12})$

${\vartheta }_{00}({\text{e}}^{-7\pi })=\sqrt[4]{\pi }{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{4}\right)}^{-1}{2}^{-5/8}{7}^{-7/16}\sqrt[4]{3+\sqrt{7}}\sqrt{5-\sqrt{7}+\sqrt[4]{28}}$

${\vartheta }_{00}({\text{e}}^{-8\pi })=\sqrt[4]{\pi }{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{4}\right)}^{-1}{2}^{-2}(\sqrt{2+\sqrt{2}}+2^{7/8})$

${\vartheta }_{00}({\text{e}}^{-9\pi })=\sqrt[4]{\pi }{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{4}\right)}^{-1}{3}^{-1}(\sqrt[3]{2\sqrt{3}+2}+1)$

${\vartheta }_{00}({\text{e}}^{-10\pi })=\sqrt[4]{\pi }{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{4}\right)}^{-1}{5}^{-1/2}{\mathrm{\Phi }}^{3/2}\cos [\frac{1}{4}\arcsin ({\mathrm{\Phi }}^{-12}\left)\right]$

${\vartheta }_{00}({\text{e}}^{-11\pi })=\sqrt[4]{\pi }{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{4}\right)}^{-1}{2}^{-5/4}11^{-5/8}\sqrt{\sqrt{11}+3}\{4+\sqrt{11}-3\sqrt{3}\tanh [\frac{1}{4}\mathrm{arcosh}(\frac{7}{4})+\frac{1}{2}\mathrm{artanh}(\frac{4}{9}\sqrt{3})-\frac{1}{6}\mathrm{artanh}(\frac{1}{27}\sqrt{3})\left]\right\}$

${\vartheta }_{00}({\text{e}}^{-12\pi })=\sqrt[4]{\pi }{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{4}\right)}^{-1}{2}^{-2}{3}^{-3/8}\sqrt{\cot (\frac{1}{24}\pi )}(\sqrt[4]{3}+1)(\sqrt{3}+1-\sqrt[4]{12})\cos \{\frac{1}{2}\arcsin [\frac{1}{2}(2+\sqrt{3})(\sqrt{3}-\sqrt{2}{)}^2(\sqrt{2}-1{)}^2(\sqrt[4]{3}-1{)}^4]\}$

${\vartheta }_{00}({\text{e}}^{-13\pi })=\sqrt[4]{\pi }{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{4}\right)}^{-1}13^{-1/2}\sqrt{5\sqrt{13}+18}\{\frac{1}{6}(5\sqrt{39}-17\sqrt{3})\coth [\frac{1}{3}\mathrm{artanh}(\frac{6}{11}\sqrt{3})-\frac{1}{2}\mathrm{arcosh}\left(\frac{4}{13}\sqrt{13}\right)]-\frac{1}{2}(\sqrt{13}-3)\}$

${\vartheta }_{00}({\text{e}}^{-14\pi })=\sqrt[4]{\pi }{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{4}\right)}^{-1}{2}^{-5/8}{7}^{-7/16}\sqrt[4]{3+\sqrt{7}}\sqrt{5-\sqrt{7}+\sqrt[4]{28}}\cos \{\frac{1}{4}\arcsin [(\frac{1}{4}\sqrt{14}+\frac{1}{4}\sqrt{2}-\frac{1}{2}\sqrt[4]{7}{)}^{12}]\}$

${\vartheta }_{00}({\text{e}}^{-15\pi })=\sqrt[4]{\pi }{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{4}\right)}^{-1}{3}^{-1/2}{5}^{-1/2}{\mathrm{\Phi }}^{3/2}(\sqrt{2\sqrt{1+{\mathrm{\Phi }}^{-8}+{\mathrm{\Phi }}^{-16}}+2+{\mathrm{\Phi }}^{-8}}+\sqrt{1-{\mathrm{\Phi }}^{-8}}{)}^{1/2}$

${\vartheta }_{00}({\text{e}}^{-16\pi })=\sqrt[4]{\pi }{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{4}\right)}^{-1}[2^{-9/4}(\sqrt[4]{2}+1)+2^{-23/16}\sqrt[4]{\sqrt{2}+1}]$

${\vartheta }_{00}({\text{e}}^{-17\pi })=\sqrt[4]{\pi }{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{4}\right)}^{-1}{2}^{-3/2}17^{-1/2}[(\sqrt[4]{17}+1)\sqrt{\sqrt{17}-1}+\sqrt[8]{272}\sqrt{\sqrt{17}+3}]$

${\vartheta }_{00}({\text{e}}^{-18\pi })=\sqrt[4]{\pi }{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{4}\right)}^{-1}{3}^{-1}(\sqrt[3]{2\sqrt{3}+2}+1)\cos ⟨\frac{1}{4}\arcsin \left\{\right[2\sqrt{3}-3-\sqrt{6}(2-\sqrt{3}{)}^{5/6}+\sqrt{2}(2-\sqrt{3}{)}^{7/6}{]}^4\}⟩$

И с греческой буквой $\mathrm{\Phi }=(\sqrt{5}+1)/2$ показано Золотое сечение. Символом $G$ обозначена постоянная Гаусса, которая представляет собой отношение лемнискатической константы к числу Шаблон:Math. Только что показанные значения были исследованы южнокорейским математиком Джинхи Йи из Пусанского национального университета (부산 대학교). Их результаты впоследствии были опубликованы в Журнале математического анализа и приложений. Кроме того, применяются следующие значения:

${\vartheta }_{00}[\exp (-\frac{1}{2}\pi )]=\sqrt[4]{\pi }{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{4}\right)}^{-1}{2}^{-1/4}\sqrt{\sqrt{2}+1}$

${\vartheta }_{00}[\exp (-\frac{1}{3}\pi )]=\sqrt[4]{\pi }{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{4}\right)}^{-1}{2}^{-1/4}{3}^{1/8}\sqrt{\sqrt{3}+1}$

Эти 2 значения можно определить непосредственно с помощью формулы суммы Пуассона:

${\vartheta }_{00}[\exp (-\pi /y)]=\sqrt{y}{\vartheta }_{00}[\exp (-\pi y)]$

Эквиангармонические значения

Функция Шаблон:Math имеет следующие эквиангармонические значения функции:

${\vartheta }_{00}[\exp (-\sqrt{3}\pi )]={\pi }^{-1/2}{2}^{-1/6}{3}^{-1/8}\beta (\frac{1}{3}{)}^{1/2}$

${\vartheta }_{00}[\exp (-2\sqrt{3}\pi )]={\pi }^{-1/2}{2}^{-1/6}{3}^{-1/8}\beta (\frac{1}{3}{)}^{1/2}\cos (\frac{1}{24}\pi )$

${\vartheta }_{00}[\exp (-3\sqrt{3}\pi )]={\pi }^{-1/2}{2}^{-1/6}{3}^{-7/8}\beta (\frac{1}{3}{)}^{1/2}(\sqrt[3]{2}+1)$

${\vartheta }_{00}[\exp (-4\sqrt{3}\pi )]={\pi }^{-1/2}{2}^{-7/6}{3}^{-1/8}\beta (\frac{1}{3}{)}^{1/2}[1+\sqrt{\cos (\frac{1}{12}\pi )}]$

${\vartheta }_{00}[\exp (-5\sqrt{3}\pi )]={\pi }^{-1/2}{2}^{-1/6}{3}^{-9/8}\beta (\frac{1}{3}{)}^{1/2}\sin (\frac{1}{5}\pi )(\frac{2}{5}\sqrt[3]{100}+\frac{2}{5}\sqrt[3]{10}+\frac{3}{5}\sqrt{5}+1)$

Некоторые эквиангармонические значения тета-функции были исследованы, в частности, математиками Брюсом Карлом Берндтом и Орсом Ребаком.

Значения тета над факториалами восьмых

Значения функции вида Шаблон:Math:

${\vartheta }_{01}[\exp (-\sqrt{2}\pi )]=2^{-1/4}{\pi }^{-1/2}\sqrt{\cos (\frac{1}{8}\pi )\beta (\frac{3}{8})}$

${\vartheta }_{01}[\exp (-3\sqrt{2}\pi )]=2^{-1/4}{3}^{-1/2}{\pi }^{-1/2}\sqrt{\cos (\frac{1}{8}\pi )\beta (\frac{3}{8})}\sqrt{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$

${\vartheta }_{01}[\exp (-\frac{1}{3}\sqrt{2}\pi )]=2^{-1/4}{\pi }^{-1/2}\sqrt{\cos (\frac{1}{8}\pi )\beta (\frac{3}{8})}\sqrt{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$

${\vartheta }_{01}[\exp (-5\sqrt{2}\pi )]=2^{-1/4}{5}^{-1/2}{\pi }^{-1/2}\sqrt{\cos (\frac{1}{8}\pi )\beta (\frac{3}{8})}\{\frac{4}{3}\sqrt{2}\cos (\frac{1}{10}\pi )\cosh [\frac{1}{3}\mathrm{artanh}(\frac{3}{8}\sqrt{6})]+\frac{1}{3}\tan (\frac{1}{5}\pi )\}$

${\vartheta }_{01}[\exp (-\frac{1}{5}\sqrt{2}\pi )]=2^{-1/4}{\pi }^{-1/2}\sqrt{\cos (\frac{1}{8}\pi )\beta (\frac{3}{8})}\{\frac{4}{3}\sqrt{2}\sin (\frac{1}{5}\pi )\cosh [\frac{1}{3}\mathrm{artanh}(\frac{3}{8}\sqrt{6})]-\frac{1}{3}\cot (\frac{1}{10}\pi )\}$

Некоторые тождества с рядами

Следующие 2 тождества для рядов были доказаны Иштваном МезоШаблон:Sfn:

$\begin{array}{cc}{\vartheta }_4^2(q)& =i{q}^{\frac{1}{4}}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{q}^{2k^2-k}{\vartheta }_1(\frac{2k-1}{2i}\ln q,q),\\ {\vartheta }_4^2(q)& =\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{q}^{2k^2}{\vartheta }_4(\frac{k\ln q}{i},q).\end{array}$

Эти отношения выполняются для всех Шаблон:Math. Фиксируя значения Шаблон:Mvar, мы получим следующие свободные от параметров суммы

$\begin{array}{cc}\sqrt{\frac{\pi \sqrt{e^{\pi }}}{2}}\cdot \frac{1}{{\mathrm{\Gamma }}^2\left(\frac{3}{4}\right)}& =i\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\pi (k-2k^2)}{\vartheta }_1(\frac{i\pi }{2}(2k-1),e^{-\pi }),\\ \sqrt{\frac{\pi }{2}}\cdot \frac{1}{{\mathrm{\Gamma }}^2\left(\frac{3}{4}\right)}& =\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\vartheta }_4(ik\pi ,e^{-\pi })}{e^{2\pi k^2}}\end{array}$

Нули тета-функций Якоби

Все нули тета-функций Якоби являются простыми нулями и задаются следующим образом:

$\begin{array}{cccccc}\vartheta (z,\tau )={\vartheta }_3(z,\tau )& =0& ⟺& & z& =m+n\tau +\frac{1}{2}+\frac{\tau }{2}\\ {\vartheta }_1(z,\tau )& =0& ⟺& & z& =m+n\tau \\ {\vartheta }_2(z,\tau )& =0& ⟺& & z& =m+n\tau +\frac{1}{2}\\ {\vartheta }_4(z,\tau )& =0& ⟺& & z& =m+n\tau +\frac{\tau }{2}\end{array}$,

где Шаблон:Mvar, Шаблон:Mvar являются произвольными целыми.

Связь с дзета-функцией Римана

Соотношение

$\vartheta (0;-\frac{1}{\tau })=(-i\tau {)}^{\frac{1}{2}}\vartheta (0;\tau )$

использовал Риман для доказательства функционального уравнения для дзета-функции Римана посредством преобразования Меллина

$\mathrm{\Gamma }\left(\frac{s}{2}\right){\pi }^{-\frac{s}{2}}\zeta (s)=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\vartheta (0;it)-1)t^{\frac{s}{2}}\frac{\mathrm{d}t}{t}$

и можно показать, что преобразование инвариантно относительно замены Шаблон:Mvar на Шаблон:Math. Cоответствующий интеграл для Шаблон:Math дан в статье о дзета-функции Гурвица.

Связь с эллиптической функцией Вейерштрасса

Тета-функции использовал Якоби для построения (в виде, приспособленном для упрощения вычислений) его эллиптических функций как частные вышеприведённых 4 тета-функций, и он мог их использовать также для построения эллиптических функций Вейерштрасса, поскольку

$\mathrm{\wp }(z;\tau )=-(\log {\vartheta }_{11}(z;\tau ){)}^{″}+c$,

где вторая производная берётся по Шаблон:Mvar, а константа Шаблон:Mvar определена так, что ряд Лорана функции Шаблон:Math в точке Шаблон:Math имеет нулевой постоянный член.

Связь с Шаблон:Math-гамма функцией

Четвёртая тета-функция – а тогда и остальные – неразрывно связана с Шаблон:Не переведено 5 соотношениемШаблон:Sfn.

${({\mathrm{\Gamma }}_{q^2}(x){\mathrm{\Gamma }}_{q^2}(1-x))}^{-1}=\frac{q^{2x(1-x)}}{{(q^{-2};q^{-2})}_{\mathrm{\infty }}^3(q^2-1)}{\vartheta }_4(\frac{1}{2i}(1-2x)\log q,\frac{1}{q}).$

Связь с эта-функцией Дедекинда

Пусть $\eta (\tau )$ — Шаблон:Не переведено 5, а аргумент тета-функции представлен как Шаблон:Не переведено 5 $q=e^{\pi i\tau }$. Тогда

$\begin{array}{cc}{\theta }_2(0,q)={\vartheta }_{10}(0;\tau )& =\frac{2{\eta }^2(2\tau )}{\eta (\tau )},\\ {\theta }_3(0,q)={\vartheta }_{00}(0;\tau )& =\frac{{\eta }^5(\tau )}{{\eta }^2\left(\frac{1}{2}\tau \right){\eta }^2(2\tau )}=\frac{{\eta }^2(\frac{1}{2}(\tau +1))}{\eta (\tau +1)},\\ {\theta }_4(0,q)={\vartheta }_{01}(0;\tau )& =\frac{{\eta }^2\left(\frac{1}{2}\tau \right)}{\eta (\tau )},\end{array}$

и

${\theta }_2(0,q){\theta }_3(0,q){\theta }_4(0,q)=2{\eta }^3(\tau ).$

См. также статью о модулярных функциях Вебера.

Эллиптический модуль

J-инвариант равен

$k(\tau )=\frac{{\vartheta }_{10}(0,\tau {)}^2}{{\vartheta }_{00}(0,\tau {)}^2}$,

дополнительный эллиптический модуль равен

$k^{\prime }(\tau )=\frac{{\vartheta }_{01}(0,\tau {)}^2}{{\vartheta }_{00}(0,\tau {)}^2}$

Решение теплового уравнения

Тета-функция Якоби является фундаментальным решением одномерного уравнения теплопроводности с пространственными периодическими граничными условиямиШаблон:Sfn. Принимая $z=x$ вещественным, а $\tau =it$ с вещественным и положительным Шаблон:Mvar, мы можем записать

$\vartheta (x,it)=1+2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\exp (-\pi n^{2}t)\cos (2\pi nx)$,

что решает уравнение теплопроводности

$\frac{\partial }{\partial t}\vartheta (x,it)=\frac{1}{4\pi }\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\vartheta (x,it).$

Это решение в виде тета-функции является 1-периодическим по Шаблон:Mvar, и при $t\to 0$ оно стремится к периодической дельта-функции или гребню Дирака в смысле распределений

$\underset{t\to 0}{\lim }\vartheta (x,it)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (x-n)$.

Общие решения для задачи с пространственными периодическими начальными значениями для уравнения теплопроводности могут быть получены путём свёртки начальных данных в $t=0$ с тета-функцией.

Связь с группой Гейзенберга

Тета-функция Якоби является инвариантом при действии дискретной подгруппы группы Гейзенберга. Эта инвариантность представлена в статье о Шаблон:Не переведено 5 группы Гейзенберга.

Обобщения

Если Шаблон:Mvar является квадратичной формой от Шаблон:Mvar переменных, то тета-функция, связанная с Шаблон:Mvar, равна

${\theta }_F(z)=\sum _{m\in {\mathbb{Z}}^n}{e}^{2\pi izF(m)}$

с суммой по решётке целых чисел Шаблон:Math. Эта тета-функция является модулярной формой с весом $\frac{n}{2}$ (на надлежащим образом определённой подгруппе) модулярной группы. В разложении в ряд Фурье

${\hat{\theta }}_F(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{R}_F(k)e^{2\pi ikz},$

числа $R_F(k)$ называются числами представления формы.

Риманова тета-функция

Пусть

${ℍ}_n=\{F\in M(n,ℂ)|F=F^{𝖳},\mathrm{Im}F>0\}$

является множеством симметричных квадратных матриц, мнимая часть которых положительно определена. Шаблон:Math называется Шаблон:Не переведено 5 и является многомерным аналогом верхней полуплоскости. Шаблон:Mvar-Мерным аналогом модулярной группы является симплектическая группа Шаблон:Math. Для $n=1\mathrm{S}\mathrm{p}(2,\mathbb{Z})=\mathrm{S}\mathrm{L}(2,\mathbb{Z})$. Роль Шаблон:Mvar-мерного аналога конгруэнтных подгрупп играет

$\ker \{\mathrm{Sp}(2n,\mathbb{Z})\to \mathrm{Sp}(2n,\mathbb{Z}/k\mathbb{Z})\}.$

Тогда, если дано $\tau \in {ℍ}_n$, тета-функция Римана определяется как

$\theta (z,\tau )=\sum _{m\in {\mathbb{Z}}^n}\exp \left(2\pi i(\frac{1}{2}{m}^{𝖳}\tau m+m^{𝖳}z)\right).$

Здесь $z\in {ℂ}_n$ является Шаблон:Mvar-мерным комплексным вектором, а верхний индекс T означает транспонирование. Тета-функция Якоби является тогда частным случаем с $n=1$ и $\tau \in ℍ$, где $ℍ$ является верхней полуплоскостью.

Тета-функция Римана сходится абсолютно и равномерно на компактных подмножествах ${ℂ}^n\times {ℍ}_n$.

Функциональное уравнение функции

$\theta (z+a+\tau b,\tau )=\exp 2\pi i(-b^{𝖳}z-\frac{1}{2}{b}^{𝖳}\tau b)\theta (z,\tau )$

которое выполняется для всех векторов $a,b\in {\mathbb{Z}}^n$ и для всех $z\in {ℂ}^n$}} и $\tau \in {ℍ}_n$.

Ряд Пуанкаре

Шаблон:Не переведено 5 обобщает тета-ряд на автоморфные формы применительно к произвольным фуксовым группам.

Уравнения пятой степени

Решение формы Бринга-Джеррарда

Согласно Теореме Абеля-Руффини общее уравнение 5 степени не может быть решено в элементарной радикальной форме. Но общее решение вполне возможно с помощью эллиптических функций. С тета-функцией общий случай Уравнения 5 степени также может быть решен как функция эллиптического «номена q» из эллиптического модуля, который всегда «элементарен» в зависимости от коэффициентов. Для следующего уравнения пятой степени в форме Бринга-Джеррарда общее решение может быть представлено в упрощенной форме тета-функцией ϑ₀₀:

$x^5+5x=4c$

Для всех реальных значений $c$ имеет показанную сумму функции пятой степени и идентичную функцию отображения для $x$ в зависимости от $c$ точно реальное решение. И это фактическое решение $x$ может для всех действительных значений $c$ может быть вызвано точно по следующему алгоритму:

Método de resolución de las ecuaciones quínticas a través de la función theta

Уравнение Бринга – Джеррарда: $x^5+5x=4c$

Значение эллиптической функции «Номен q»: $Q=q\left[\right(2c^2+2+2\sqrt{c^4+1}{)}^{-1/2}(\sqrt{\sqrt{c^4+1}+1}+c)]$

Актуальное решение для $x$: $x=\frac{[{\vartheta }_{00}(Q^{1/5}{)}^2-5{\vartheta }_{00}(Q^5{)}^2]\sqrt{{\vartheta }_{00}(Q^{1/5}{)}^2+5{\vartheta }_{00}(Q^5{)}^2-4{\vartheta }_{00}(Q{)}^2-2{\vartheta }_{00}(Q^{1/5}){\vartheta }_{00}(Q^5)}}{4{\vartheta }_{10}(Q){\vartheta }_{01}(Q){\vartheta }_{00}(Q)}$

3 примера расчёта

Ниже в качестве примеров рассматриваются 3 уравнения, которые можно решить с помощью тета-функции Якоби, но вообще нельзя решить с помощью элементарных корневых выражений:

$x^5+5x=\frac{1}{\sqrt{3}\sqrt[4]{7}}$

$Q=q\left[\right(2c^2+2+2\sqrt{c^4+1}{)}^{-1/2}(\sqrt{\sqrt{c^4+1}+1}+c)\left]\right(c=\frac{1}{4\sqrt{3}\sqrt[4]{7}})=q(\frac{3}{4})=\exp [-\pi K\left(\frac{1}{4}\sqrt{7}\right)/K\left(\frac{3}{4}\right)]$

$Q\approx 0.0514850134086884874259334407034142264$

$x=\frac{\{{\vartheta }_{00}[q(\frac{3}{4}{)}^{1/5}{]}^2-5{\vartheta }_{00}[q(\frac{3}{4}{)}^5{]}^2\}\sqrt{{\vartheta }_{00}[q(\frac{3}{4}{)}^{1/5}{]}^2+5{\vartheta }_{00}[q(\frac{3}{4}{)}^5{]}^2-4{\vartheta }_{00}[q(\frac{3}{4}){]}^2-2{\vartheta }_{00}[q(\frac{3}{4}{)}^{1/5}]{\vartheta }_{00}[q(\frac{3}{4}{)}^5]}}{4{\vartheta }_{10}[q(\frac{3}{4})]{\vartheta }_{01}[q(\frac{3}{4})]{\vartheta }_{00}[q(\frac{3}{4})]}$

$x\approx 0.07098926054715586207235133755965679$

Тот же образец процедуры применяется в следующем уравнении:

$x^5+5x=\frac{17}{2\sqrt{7}\sqrt[4]{15}}$

$Q=q\left[\right(2c^2+2+2\sqrt{c^4+1}{)}^{-1/2}(\sqrt{\sqrt{c^4+1}+1}+c)\left]\right(c=\frac{17}{8\sqrt{7}\sqrt[4]{15}})=q(\frac{7}{8})=\exp [-\pi K\left(\frac{1}{8}\sqrt{15}\right)/K\left(\frac{7}{8}\right)]$

$Q\approx 0.0897074766759280367958684244396699245$

$x=\frac{\{{\vartheta }_{00}[q(\frac{7}{8}{)}^{1/5}{]}^2-5{\vartheta }_{00}[q(\frac{7}{8}{)}^5{]}^2\}\sqrt{{\vartheta }_{00}[q(\frac{7}{8}{)}^{1/5}{]}^2+5{\vartheta }_{00}[q(\frac{7}{8}{)}^5{]}^2-4{\vartheta }_{00}[q(\frac{7}{8}){]}^2-2{\vartheta }_{00}[q(\frac{7}{8}{)}^{1/5}]{\vartheta }_{00}[q(\frac{7}{8}{)}^5]}}{4{\vartheta }_{10}[q(\frac{7}{8})]{\vartheta }_{01}[q(\frac{7}{8})]{\vartheta }_{00}[q(\frac{7}{8})]}$

$x\approx 0.32576169530959133227592078784586937$

Это 3 пример:

$x^5+5x=4$

$Q=q\left[\right(2c^2+2+2\sqrt{c^4+1}{)}^{-1/2}(\sqrt{\sqrt{c^4+1}+1}+c)\left]\right(c=1)=q[\frac{\sqrt[4]{2}}{2}+\sin (\frac{\pi }{8})]$

$Q\approx 0.18520287008030014142515182307361246060360377625$

$x=\frac{{\vartheta }_{00}\{q[\frac{\sqrt[4]{2}}{2}+\sin (\frac{\pi }{8}){]}^{1/5}{\}}^2-5{\vartheta }_{00}\{q[\frac{\sqrt[4]{2}}{2}+\sin (\frac{\pi }{8}){]}^5{\}}^2}{4{\vartheta }_{10}\{q[\frac{\sqrt[4]{2}}{2}+\sin (\frac{\pi }{8})]\}{\vartheta }_{01}\{q[\frac{\sqrt[4]{2}}{2}+\sin (\frac{\pi }{8})]\}{\vartheta }_{00}\{q[\frac{\sqrt[4]{2}}{2}+\sin (\frac{\pi }{8})]\}}\times$

$\times \sqrt{{\vartheta }_{00}\{q[\frac{\sqrt[4]{2}}{2}+\sin (\frac{\pi }{8}){]}^{1/5}{\}}^2+5{\vartheta }_{00}\{q[\frac{\sqrt[4]{2}}{2}+\sin (\frac{\pi }{8}){]}^5{\}}^2-4{\vartheta }_{00}\{q[\frac{\sqrt[4]{2}}{2}+\sin (\frac{\pi }{8})]{\}}^2-2{\vartheta }_{00}\{q[\frac{\sqrt[4]{2}}{2}+\sin (\frac{\pi }{8}){]}^{1/5}\}{\vartheta }_{00}\{q[\frac{\sqrt[4]{2}}{2}+\sin (\frac{\pi }{8}){]}^5\}}$

$x\approx 0.75192639869405948026865366345020738740978383913$

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга. (обсуждение тета-функции Римана)
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга (история Шаблон:Mvar-функций Якоби)
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья

Литература для дальнейшего чтения

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

• E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1927. (See chapter XXI for the history of Jacobi's θ functions)
• Jonathan Borwein und Peter Borwein: π and the AGM: A study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. Wiley-Interscience, 1987. pages 94–97.
• Jonathan Borwein, Peter Borwein: Theta Functions and the Arithmetic-Geometric Mean Iteration. Ch. 2 in Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. New York: Wiley, pages 33–61, 1987.
• Nickos Papadatos: The characteristic function of the discrete Cauchy distribution. Kapodistrias-Universität Athen, 2018, Arxiv.
• Srinivasa Ramanujan: Modular Equations and Approximations to π. Quart. J. Pure. Appl. Math. Volumen 45, 350–372, 1913–1914.
• Nikolaos Bagis: On the complete solution of the general quintic using the Rogers-Ramanujan continued fraction. Arxiv 2015.
• Jinhee Yi: Theta-function identities and the explicit formulas for theta-function and their applications. Journal of Mathematical Analysis and Applications, Band 292, Nr. 2, 2004, pages 381–400.
• G. P. Young: Solution of Solvable Irreducible Quintic Equations, Without the Aid of a Resolvent Sextic. In: Amer. J. Math. Band 7, pages 170–177, 1885.
• C. Runge: Über die auflösbaren Gleichungen von der Form. In: Acta Math. Volume 7, pages 173–186, 1885, doi:10.1007/BF02402200.
• F. Brioschi: Sulla risoluzione delle equazioni del quinto grado: Hermite – Sur la résolution de l’Équation du cinquiéme degré Comptes rendus. N. 11. Mars. 1858. doi:10.1007/bf03197334 (zenodo.org).

Ссылки

• Шаблон:Cite web