Функциональное уравнение

Функциональное уравнение — уравнение, выражающее связь между значением функции в одной точке с её значениями в других точках. Многие свойства функций можно определить, исследуя функциональные уравнения, которым эти функции удовлетворяют. Термин «функциональное уравнение» обычно используется для уравнений, несводимых простыми способами к алгебраическим уравнениям. Эта несводимость чаще всего обусловлена тем, что аргументами неизвестной функции в уравнении являются не сами независимые переменные, а некоторые данные функции от них.

Примеры

Функциональному уравнению:

$f(s)=2^s{\pi }^{s-1}\sin \left(\frac{\pi s}{2}\right)\mathrm{\Gamma }(1-s)f(1-s)$,

где $\mathrm{\Gamma }(z)$ — гамма-функция Эйлера, удовлетворяет дзета-функция Римана $\zeta$.

Гамма-функция является единственным решением этой системы трёх уравнений:

$f(x)=\frac{f(x+1)}{x}$

$f(y)f(y+\frac{1}{2})=\frac{\sqrt{\pi }}{2^{2y-1}}f(2y)$

$f(z)f(1-z)=\frac{\pi }{\sin (\pi z)}$ (формула дополнения Эйлера)

Функциональное уравнение:

$f\left(\frac{az+b}{cz+d}\right)=(cz+d{)}^{k}f(z)$,

где $a,b,c,d$ являются целыми числами, удовлетворяющими равенству $ad-bc=1$, то есть:

$\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=1$,

определяет $f$ как модулярную форму порядка $k$.

Функциональные уравнения Коши:

• $f(x+y)=f(x)+f(y)$ — удовлетворяют все линейные однородные функции $f(x)=ax$,
• $f(x+y)=f(x)f(y)$ — удовлетворяют все показательные функции $f(x)=\exp \left(\alpha x\right)=a^x$,
• $f(xy)=f(x)+f(y)$ — удовлетворяют все логарифмические функции $f(x)=\alpha \log \left(x\right)={\log }_a\left(x\right)$,
• $f(xy)=f(x)f(y)$ — удовлетворяют все степенные функции $f(x)=\exp (\alpha \log \left(x\right))=x^a$.

Функциональные уравнения Коши приводятся друг к другу. Так, уравнение $f(x_1{x}_2)=f(x_1)f(x_2)$ приводится к уравнению $g(y_1+y_2)=g(y_1)+g(y_2)$ после замены $g(y)=\log |f(\exp y)|$ (для этого, естественно, нужно, чтобы $f(x)$ не была тождественным нулём). В классе непрерывных функций и в классе монотонных функций приведённые решения — единственные, если не считать вырожденное решение $f(x)\equiv 0$. Однако в более широких классах функций возможны весьма экзотические решения, см. статью «Базис Гамеля».

Другие:

• $f(x+y)+f(x-y)=2[f(x)+f(y)]$ — квадратичное уравнение или тождество параллелограмма, удовлетворяет $f(x)=k{x}^2$,
• $f\left(\frac{x+y}{2}\right)=\frac{f(x)+f(y)}{2}$ — уравнение Йенсена, удовлетворяют все линейные функции $f(x)=ax+b$,
• $f(x+y)f(x-y)=f(x{)}^2$ — уравнение Лобачевского (версия уравнения Йенсена), удовлетворяет $f(x)=a{c}^x$,
• $f(x+y)+f(x-y)=2[f(x)f(y)]$ — уравнение Даламбера,
• $f(h(x))=f(x)+1$ — уравнение Абеля,
• $f(h(x))=cf(x)$ — уравнение Шрёдера, решением является функция Кёнигса, связанная с функцией $h(x)$.

Рекуррентные соотношения

Частным видом функциональных уравнений является рекуррентное соотношение, содержащее неизвестную функцию от целых чисел и оператор сдвига.

Линейные рекуррентные соотношения:

$a(n)=\sum _{i=1,k}{c}_i\cdot a(n-i)$

(где $c_1,c_2,\dots ,c_k$ — константы, не зависящие от $n$) имеют теорию, аналогом которой является теория линейных дифференциальных уравнений. Например, для линейного рекуррентного соотношения:

$a(n)=3a(n-1)+4a(n-2)$,

достаточно найти два линейно независимых решения, все остальные решения будут их линейными комбинациями.

Чтобы найти эти решения, надо подставить в рекуррентное соотношение пробную функцию $a(n)={\lambda }^n$ с неопределённым параметром $\lambda$ и попробовать найти те $\lambda$, при которых будет удовлетворяться данное рекуррентное соотношение. Для приведённого примера получим квадратное уравнение ${\lambda }^2=3\lambda +4$ с двумя различными корнями $\lambda =-1$ и $\lambda =4;$ поэтому общим решением для данного рекуррентного соотношения будет формула $a(n)=d_1{4}^n+d_2(-1{)}^n$ (константы $d_1$ и $d_2$ подбираются так, чтобы при $n=1$ и $n=2$ формула давала нужные значения для величин $a(1)$ и $a(2)$). В случае кратных корней многочлена дополнительными пробными решениями служат функции $n{\lambda }^n,$ $n^2{\lambda }^n$ и так далее.

Одним из широко известных рекуррентных соотношений является $a(n)=a(n-1)+a(n-2)$, определяющее последовательность Фибоначчи.

Решение функциональных уравнений

Существуют некоторые общие методы решения функциональных уравнений.

В частности, полезным может оказаться применение понятия об инволюции, то есть, использование свойств функций, для которых $f(f(x))=x$; простейшие инволюции:

$f(x)=-x$, $f(x)=\frac{1}{x}$, $f(x)=\frac{1}{1-x}+1$, $f(x)=1-x$.

Применение инволюции относится к функциональному методу решения уравнений.

Решить уравнение $f\left(x\right)\cdot f\left(\frac{1}{1-x}\right)=\frac{1-x}{x}$.

Шаг 0 Введём в рассмотрение функцию $\tau (x)=\frac{1}{1-x}$. Вычислим ${\tau }^2(x)$. У нас получится: ${\tau }^2(x)=\frac{1}{1-\frac{1}{1-x}}=\frac{1-x}{1-x-1}=\frac{x-1}{x}={\tau }^{-1}(x).$ Значит, ${\tau }^3(x)=x$. Шаг 1 Уравнение перепишется в виде: $f\left(x\right)\cdot f(\tau (x))=-{\tau }^{-1}(x)$. Шаг 2 Подставим везде, где есть $x$, функцию ${\tau }^{-1}(x)$. Получим: $f({\tau }^{-1}(x))\cdot f(\tau ({\tau }^{-1}(x)))=-{\tau }^{-1}({\tau }^{-1}(x))⟹f({\tau }^{-1}(x))\cdot f\left(x\right)=-{\tau }^{-2}(x).$ Но так как ${\tau }^2(x)={\tau }^{-1}(x)$, то ${\tau }^{-2}(x)=\tau (x)$. Поэтому $f({\tau }^{-1}(x))\cdot f\left(x\right)=-\tau (x)$. Шаг 3 Теперь из результатов Шага 1 и Шага 2 делаем простой вывод: $f(x)=\frac{-\tau (x)}{f({\tau }^{-1}(x))}=\frac{{-\tau }^{-1}(x)}{f(\tau (x))}.$ Шаг 4 Подставим везде, где есть $x$, функцию $\tau (x)$. Имеем: $f({\tau }^{-1}(x))=\frac{-x}{f(\tau (x))}=\frac{-\tau (x)}{f\left(x\right)}.$ Шаг 5 Наконец, $\{\begin{array}{c}\begin{array}{c}\frac{-x}{f(\tau (x))}=\frac{-\tau (x)}{f\left(x\right)},\\ f\left(x\right)\cdot f(\tau (x))=-{\tau }^{-1}(x)\end{array}\end{array}⟹\{\begin{array}{c}\begin{array}{c}f(\tau (x))=\frac{(-x)\cdot f\left(x\right)}{-\tau (x)},\\ f\left(x\right)\cdot f(\tau (x))=-{\tau }^{-1}(x)\end{array}\end{array}.$ Шаг 6 Подставим выражение $f(\tau (x))$ во вторую строчку системы. Итак, $f\left(x\right)\cdot \frac{(-x)\cdot f\left(x\right)}{-\tau (x)}=-{\tau }^{-1}(x)⟺f\left(x\right)\cdot f\left(x\right)=\frac{-\tau (x)\cdot {\tau }^{-1}\left(x\right)}{x}.$ Ответ: $f\left(x\right)=\pm \sqrt{\frac{-\tau (x)\cdot {\tau }^{-1}\left(x\right)}{x}}=\pm \frac{1}{x}$, или $f\left(x\right)=\frac{1}{x}\mathrm{\&}x\ne 0.$

Также можно применить вычислительный метод.

Пример 1. Для решения уравнения:

$f(x+y{)}^2=f(x{)}^2+f(y{)}^2$

для всех $x,y\in ℝ$ и $f:ℝ\to ℝ$, положим $x=y=0$: $f(0{)}^2=f(0{)}^2+f(0{)}^2$. Тогда $f(0{)}^2=0$ и $f(0)=0$. Далее, положив $y=-x$:

$f(x-x{)}^2=f(x{)}^2+f(-x{)}^2$

$f(0{)}^2=f(x{)}^2+f(-x{)}^2$

$0=f(x{)}^2+f(-x{)}^2$

Квадрат вещественного числа неотрицателен, и сумма неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда оба числа равны 0. Значит $f(x{)}^2=0$ для всех $x$ и $f(x)\equiv 0$ является единственным решением этого уравнения.

Другим методом является метод замены.

Пример 2. Решить: $f\left(\frac{x-3}{x+1}\right)+f\left(\frac{x+3}{1-x}\right)=x$.

Ясно, что $x\notin \{-1;1\}$.

Решить такое уравнение — значит отыскать функцию $f(x)$.

Введём обозначения: $\frac{x-3}{x+1}\leftrightharpoons g\left(x\right)$, а $\frac{x+3}{1-x}\leftrightharpoons h\left(x\right)$.

Тогда исходное уравнение приобретёт вид

$f\left(g\left(x\right)\right)+f\left(h\left(x\right)\right)=x.$

Функции $g\left(x\right)$ и $h\left(x\right)$ связаны равенством

$g\left(h\left(x\right)\right)=h\left(g\left(x\right)\right)=x.$

Кроме того, выполняются соотношения:

$g\left(g\left(x\right)\right)=h\left(x\right),h\left(h\left(x\right)\right)=g\left(x\right).$

Значит, подставим по отдельности $g\left(x\right)$ и $h\left(x\right)$ в уравнение $f\left(g\left(x\right)\right)+f\left(h\left(x\right)\right)=x$.

Получим систему:

$\{\begin{array}{c}f\left(x\right)+f\left(g\left(x\right)\right)=h\left(x\right),\\ f\left(h\left(x\right)\right)+f\left(x\right)=g\left(x\right).\end{array}$

Откуда будем иметь $2\cdot f\left(x\right)+f\left(g\left(x\right)\right)+f\left(h\left(x\right)\right)=g\left(x\right)+h\left(x\right)$.

Или, что то же самое, $2\cdot f\left(x\right)+x=g\left(x\right)+h\left(x\right)$.

Следовательно, $f\left(x\right)=\frac{g\left(x\right)+h\left(x\right)-x}{2}=\frac{x^3+7x}{2-2x^2}$ при $x\notin \{-1;1\}$.

Литература

• Головинский И. А. Ранняя история аналитических итераций и функциональных уравнений. // Историко-математические исследования. М.: Наука, вып. XXV, 1980, с. 25-51.
• Kuczma M. On the functional equation φn(x) = g(x). Ann. Polon. Math. 11 (1961) 161—175.
• Kuczma M. An introduction to the theory of functional equations and inequalities. Warszawa — Kraków — Katowice: Polish Scientific Publishers & Silesian University, 1985.
• Лихтарников Л. М. Элементарное введение в функциональные уравнения. СПб.: Лань, 1997.

Ссылки

• Инволюция (Викиучебник)
• Functional Equations: Exact Solutions at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Functional Equations: Index at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• IMO Compendium text on functional equations in problem solving.