Уравнение Шрёдера

Названо в честь Эрнста Шрёдера. Это уравнение на собственные значения для оператора композиции

$\mathrm{\Phi }(P(z))=p\mathrm{\Phi }(z),\mathrm{\forall }z$,

где $\mathrm{\Phi }$ искомая неизвестная функция, $p$ фиксированное собственное число, a $P$ заданное 'ядро' оператора композиции. Уравнение применяется в нелинейной и хаотической динамике, в теории турбулентности, и в задачах, где возникают многократные функциональные композиции и самоподобные структуры.

Решение уравнения Шрёдера

В общем случае решение выписать аналитически не удастся, поскольку уравнение так же сложно как и родственное ему Уравнение Абеля. Вот некоторые частные случаи

$P(z)=4z(1-z),p=4⟹\mathrm{\Phi }(z)=(\arcsin \sqrt{z}{)}^2,$

$P(z)=2z(1-z),p=2⟹\mathrm{\Phi }(z)=\ln (1-2z),$

$P(z)=\frac{z}{2-z},p=\frac{1}{2}⟹\mathrm{\Phi }(z)=\frac{z}{1-z}.$

По поводу данных примеров, и их практического значения, см..

Если функция $P(z)$ задана в виде ряда по степеням $z$, то зачастую возможно выписать ряд и для решения $\mathrm{\Phi }(z)$.

Существуют некоторые общие результаты относительно существования решения уравнения Шрёдера. Например, если $a$ неподвижная ($P(a)=a$) и притягивающая ($0<|P^{\prime }(a)|<1$) точка для аналитического отображения $P(z)$, то уравнение Шрёдера имеет решение с собственным числом $p=P^{\prime }(a)$.

Некоторые применения уравнения Шрёдера

Группа итераций.

С помощью $\mathrm{\Phi }(z)$ можно обобщить функциональные композиции $P_t(z)=P\circ P\circ ...\circ P(z)$ (итерация $t$ раз) с дискретного параметра $t$ на непрерывный

$P_t(z):={\mathrm{\Phi }}^{-1}(p^t\mathrm{\Phi }(z)).$

Например, при $t=1/2$ мы получаем функциональный квадратный корень, который удовлетворяет уравнению $P_{\frac{1}{2}}(P_{\frac{1}{2}}(z))=P(z)$.

Отношения вероятностей редких событий.

Пусть

$P(z)=p_{1}z+p_2{z}^2+p_3{z}^3+...,p_1\ne 0$

производящая функция для ветвящегося процесса Гальтона-Ватсона $X_{t+1}=\sum _{j=1}^{X_t}{\xi }_j^{(t)},X_0=1$, в котором хотя бы одна частица выживает ($p_0=0$). Соответственно, все ${\xi }_j^{(t)}$ независимы и одинаково распределены, с дискретной характеристической функцией $P(z)$. Тогда, если $p_1\ne 1$, рост популяции будет экспоненциальный. Тем не менее, вероятность того, что на каждом шаге будет лишь одна частица, не нулевая $\mathbb{P}(X_t=1)=p_1^t\ne 0$. Можно даже определить отношения редких событий в пределе и их генерирующую функцию

${\phi }_n:=\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\mathbb{P}(X_t=n)}{\mathbb{P}(X_t=1)},\mathrm{\Phi }(z):={\phi }_{1}z+{\phi }_2{z}^2+{\phi }_3{z}^3+....$

Тогда $\mathrm{\Phi }(z)$ будет удовлетворять уравнению Шрёдера с начальными условиями

$\mathrm{\Phi }(P(z))=p_1\mathrm{\Phi }(z),\mathrm{\Phi }(0)=0,{\mathrm{\Phi }}^{\prime }(0)=1.$

Обобщённое (интегральное) уравнение Шрёдера.

Если в предыдущем примере предположить, что на каждом шаге ветвление происходит не с фиксированными вероятностями, определяемыми единственной характеристической функцией $P(z)$, а характеристические функции выбираются случайно среди $P_r(z)$, где $r$ принадлежит некоторому вероятностному пространству $(R,\mu )$, то тогда уравнение для генерирующей функции отношения редких событий примет вид

$\underset{R}{\int }\mathrm{\Phi }(P_r(z))\mu (dr)=\mathrm{\Phi }(z)\underset{R}{\int }{p}_{1r}\mu (dr),\mathrm{\Phi }(0)=0,{\mathrm{\Phi }}^{\prime }(0)=1.$

В случае одноточечного вероятностного пространства, обобщённое интегральное уравнение обращается в классическое уравнение Шрёдера.