Уравнение Абеля

Уравнение Абеля, названное в честь Нильса Хенрика Абеля — это тип функционального уравнения вида

$f(h(x))=h(x+1)$

или

$\alpha (f(x))=\alpha (x)+1$.

Данные формы эквивалентны, когда Шаблон:Mvar обратимо. Шаблон:Mvar или Шаблон:Mvar управляют итерацией Шаблон:Mvar.

Эквивалентность

Второе уравнение может быть записано как

${\alpha }^{-1}(\alpha (f(x)))={\alpha }^{-1}(\alpha (x)+1).$

Принимая Шаблон:Math, уравнение можно записать как

$f({\alpha }^{-1}(y))={\alpha }^{-1}(y+1).$

Для известной функции Шаблон:Math задача состоит в решении функционального уравнение для функции Шаблон:Math, возможно, удовлетворяющей дополнительным требованиям, таким как Шаблон:Math.

Замена переменных Шаблон:Math для вещественного параметра Шаблон:Mvar приводит уравнение Абеля к Шаблон:Iw, Шаблон:Math.

Дальнейшая замена Шаблон:Math приводит к уравнению Шаблон:Iw, Шаблон:Math.

Уравнение Абеля является частным случаем уравнения переноса (и легко обобщается им),

$\omega (\omega (x,u),v)=\omega (x,u+v)$,

например, для $\omega (x,1)=f(x)$,

$\omega (x,u)={\alpha }^{-1}(\alpha (x)+u)$. (Обратите внимание, что Шаблон:Math.)

Функция Абеля Шаблон:Math дополнительно обеспечивает каноническую координату для адвективных потоков Ли (однопараметрических групп Ли).

История

Изначально уравнение было получено в более общей форме. Даже в случае одной переменной уравнение нетривиально и требует специального анализа.

В случае линейной передаточной функции решение выражается компактно.

Особые случаи

Уравнение тетрации является частным случаем уравнения Абеля, когда Шаблон:Math.

В случае целочисленного аргумента уравнение кодирует рекуррентную процедуру, например,

$\alpha (f(f(x)))=\alpha (x)+2$,

и так далее,

$\alpha (f_n(x))=\alpha (x)+n.$

Решения

Уравнение Абеля имеет хотя бы одно решение на $E$ тогда и только тогда, когда для всех $x\in E$ и для всех $n\in \mathbb{N}$, $f^n(x)\ne x$, где $f^n=f\circ f\circ ...\circ f$, функция Шаблон:Mvar итерированная Шаблон:Mvar раз.

Аналитические решения (координаты Фату) могут быть приближены асимптотическим разложением функции, заданной степенным рядом в секторах вокруг параболической неподвижной точки. Аналитическое решение единственно с точностью до константы.

См. также

• Функциональное уравнение
  • Шаблон:Iw
  • Шаблон:Iw
• Шаблон:Iw
• Повторяющаяся функция
• Оператор смены
• Шаблон:Iw