Оператор сдвига

В математике, и, в частности, в функциональном анализе, оператор сдвига, также известный как оператор трансляции, — это оператор, который переводит функцию x ↦ f(x) в её трансляцию x ↦ f(x + a). В анализе временных рядов оператор сдвига называется лаговым оператором.

Операторы сдвига являются примерами линейных операторов, важных своей простотой и естественной распространённостью. Действие оператора сдвига на функции вещественного переменного играет важную роль в гармоническом анализе, например, он встречается в определениях почти периодических функций, положительно-определённых функций, производных и свёртки. Сдвиги последовательностей (функций целого переменного) появляются в различных областях, таких как пространства Харди, теория абелевых многообразий и теория символической динамики, для которых отображение пекаря является явным представлением.

Определение

Функции вещественной переменной

Оператор сдвига Шаблон:Math (где Шаблон:Math) переводит функцию Шаблон:Math на R в её трансляцию Шаблон:Math ,

$T^{t}f(x)=f_t(x)=f(x+t).$

В операционном исчислении, практическое представление линейного оператора Шаблон:Math в терминах простой производной Шаблон:Math было введено Лагранжем,

$T^t=e^{t\frac{d}{dx}},$

что может быть интерпретировано операционально через формальное разложение Тейлора по Шаблон:Mvar; по биному Ньютона очевидно действие оператора на одночлен Шаблон:Math, и, следовательно, на все ряды по Шаблон:Mvar, а значит, и на все функции Шаблон:Math, как указано выше. Таким образом, формально это кодировка разложения Тейлора в исчислении Хевисайда.

Таким образом, оператор является прототипом адвективного потока Ли для абелевых групп,

$e^{t\beta (x)\frac{d}{dx}}f(x)=e^{t\frac{d}{dh}}F(h)=F(h+t)=f(h^{-1}(h(x)+t)),$

где канонические координаты Шаблон:Mvar (функции Абеля) определены так, что

$h^{\prime }(x)\equiv \frac{1}{\beta (x)},f(x)\equiv F(h(x)).$

Например, из этого легко следует, что $\beta (x)=x$ даёт масштабирование,

$e^{tx\frac{d}{dx}}f(x)=f(e^{t}x),$

следовательно $e^{i\pi x\frac{d}{dx}}f(x)=f(-x)$ (чётность); аналогично, $\beta (x)=x^2$ даёт

$e^{t{x}^2\frac{d}{dx}}f(x)=f\left(\frac{x}{1-tx}\right),$

$\beta (x)=1/x$ даёт

$e^{\frac{t}{x}\frac{d}{dx}}f(x)=f\left(\sqrt{x^2+2t}\right),$

$\beta (x)=e^x$ даёт

$\exp \left(t{e}^x\frac{d}{dx}\right)f(x)=f(\ln \left(\frac{1}{e^{-x}-t}\right)),$

и т.д.

Начальное условие потока и свойство группы полностью определяют весь поток Ли, предоставляя решение функционального уравнения трансляции

$f_t(f_{\tau }(x))=f_{t+\tau }(x).$

Последовательности

Оператор левого сдвига действует на одностороннюю бесконечную последовательность чисел через

$S^{*}:(a_1,a_2,a_3,\dots )\mapsto (a_2,a_3,a_4,\dots )$

и на двухсторонние бесконечные последовательности чисел:

$T:(a_k{)}_{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mapsto (a_{k+1}{)}_{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}.$

Оператор правого сдвига действует на одностороннюю бесконечную последовательность чисел через

$S:(a_1,a_2,a_3,\dots )\mapsto (0,a_1,a_2,\dots )$

и на двусторонние бесконечные последовательности:

$T^{-1}:(a_k{)}_{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mapsto (a_{k-1}{)}_{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}.$

Операторы сдвига вправо и влево, действующие на двусторонние бесконечные последовательности, называются двусторонними сдвигами.

Абелевы группы

В целом, как было показано выше, если Шаблон:Math есть функция абелевой группы Шаблон:Math, а Шаблон:Math есть элемент из Шаблон:Math, то оператор сдвига Шаблон:Math отображает Шаблон:Math в

$F_g(h)=F(h+g).$

Свойства оператора сдвига

Оператор сдвига, действующий на вещественные или комплекснозначные функции или последовательности, является линейным оператором, сохраняющим большинство стандартных норм, которые встречаются в функциональном анализе. Поэтому он обычно является непрерывным оператором с 1-нормой.

Действие на гильбертовых пространствах

Оператор сдвига, действующий на двусторонние последовательности, является унитарным оператором на Шаблон:Math. Оператор сдвига, действующий на функции вещественного переменного, является унитарным оператором на Шаблон:Math.

В обоих случаях (левый) оператор сдвига удовлетворяет следующему коммутативному соотношению с преобразованием Фурье:$$ℱT^t=M^tℱ,$$где Шаблон:Math — Шаблон:Iw на Шаблон:Math. Поэтому спектр Шаблон:Math — единичный круг.

Односторонний сдвиг S, действующий на Шаблон:Math, является собственной изометрией с областью значений функции, равной всем векторам, которые исчезают в первой координате. Оператор S является сжатием Шаблон:Math, в том смысле, что$$T^{-1}y=Sx\text{, }x\in {\ell }^2(\mathbb{N}),$$где Шаблон:Math — вектор в Шаблон:Math с Шаблон:Math для Шаблон:Math и Шаблон:Math для Шаблон:Math. Это наблюдение лежит в основе построения многих унитарных расширений изометрий.

Спектр S — это единичный диск. Сдвиг S является одним из примеров оператора Фредгольма; он имеет индекс Фредгольма -1.

Обобщение

Жан Дельсарт ввёл понятие обобщённого оператора сдвига (также называемого обобщённым оператором смещения); в дальнейшем оно было развито Борисом Левитаном.

Семейство операторов Шаблон:Math, действующих на пространстве Шаблон:Math функций из множества Шаблон:Math в Шаблон:Math, называется семейством обобщённых операторов сдвига, если выполняются следующие свойства:

1. Ассоциативность: пусть Шаблон:Math. Тогда Шаблон:Math.
2. Существует Шаблон:Math в Шаблон:Math такое, что Шаблон:Math — оператор тождества.

В этом случае множество Шаблон:Math называется гипергруппой.

См. также

• Арифметический (знаковый) сдвиг
• Логический (беззнаковый) сдвиг
• Конечные разности
• Оператор импульса

Литература

• Шаблон:Cite book
• Marvin Rosenblum and James Rovnyak, Hardy Classes and Operator Theory, (1985) Oxford University Press.