Символическая динамика

Символическая динамика — объединяющее название класса динамических систем, для которых точками фазового пространства являются последовательности в некотором конечном алфавите «символов», а отображение заключается в сдвиге последовательности на один символ влево.

Простейшими примерами являются сдвиг Бернулли и сдвиг Маркова. Символическая динамика также возникает при рассмотрении отображения судьбы (см. ниже).

Базовые примеры

Сдвиг Бернулли

Схема левого сдвига Бернулли ${\omega }^{\prime }=\sigma (\omega )$ над пространством ${\mathrm{\Sigma }}_2$ двусторонне-бесконечных последовательностей из нулей и единиц

Пусть ${\mathrm{\Sigma }}_s^{+}$ — пространство последовательностей в алфавите $\{1,\dots ,s\}$, то есть,

${\mathrm{\Sigma }}_s^{+}=\{({\omega }_j{)}_{j=1}^{\mathrm{\infty }}\mid \mathrm{\forall }j{w}_j\in \{1,\dots ,s\}\}.$

Сдвигом Бернулли называется динамическая система $({\mathrm{\Sigma }}_s^{+},\sigma )$, где $\sigma$ — отображение левого сдвига,

$(\sigma (\omega ){)}_j={\omega }_{j+1}.(\ast )$

Также рассматривают отображение левого сдвига на пространстве двусторонне-бесконечных последовательностей

${\mathrm{\Sigma }}_s=\{({\omega }_j{)}_{j=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mid \mathrm{\forall }j{w}_j\in \{1,\dots ,s\}\};$

получающуюся динамическую систему $({\mathrm{\Sigma }}_s,\sigma )$ также называют сдвигом Бернулли. При необходимости, для уточнения, какая из систем имеется в виду, называют первую систему односторонним сдвигом Бернулли, а вторую двусторонним.

Отображение судьбы

В случае, если фазовое пространство динамической системы разбито в объединение непересекающихся множеств,

$X=\underset{i=1}{\overset{N}{⨆}}{B}_i,$

любой точке $x\in X$ может быть поставлена в соответствие её судьба — последовательность номеров множеств, которые посещает её орбита:

$x\mapsto (i_k),f^k(x)\in B_{i_k}.(\ast )$

При этом для необратимых динамических систем естественно рассматривать односторонние последовательности $(i_k)$ односторонняя, то есть $k=0,1,2,\dots$ Для обратимых систем обычно рассматривают двусторонне-бесконечные последовательности, $k\in \mathbb{Z}$.

Отображение $h:X\to {\mathrm{\Sigma }}_N$ или $h:X\to {\mathrm{\Sigma }}_N^{+}$, заданное формулой (*), называется отображением судьбы (соответствующим данному разбиению фазового пространства). Такое отображение автоматически удовлетворяет соотношению

$h\circ f=\sigma \circ h,$

Где $\sigma$ — сдвиг Бернулли.

Отображение судьбы априори не является ни сюръективным, ни инъективным, ни непрерывным. Тем не менее, оно часто применяется при построении сопряжений либо полусопряжений различных отображений. В случае, когда отображение судьбы инъективно, говорят о символическом кодировании динамики — поскольку применение отображения такая «замена координат» превращает в динамику на символическом пространстве ${\mathrm{\Sigma }}_N$ или на его части.

Литература

• П. Биллингслей, Эргодическая теория и информация.
• В. И. Арнольд, Д. В. Аносов, Ю. С. Ильяшенко, и др., Динамические системы-1, ВИНИТИ.
• Шаблон:Книга:Каток-Хасселблат-2005