Функция Кёнигса

Фу́нкция Кёнигса связана с решением функционального уравнения

$F[f(x)]=cF(x),$

где $F(x)$ — неизвестная функция, $f(x)$ и $c$ — данные функция и константа. Обычно это уравнение (без особых исторических оснований) называют уравнением Шрёдера.

Пусть $f(x)$ — аналитическая функция, и пусть $f(\alpha )=\alpha$, где $\alpha \ne \mathrm{\infty }$, причем

$\left|\frac{df(\alpha )}{dx}\right|<1$.

Это значит, что $\alpha$ является притягивающей неподвижной точкой функции $f(x)$. Пусть $f^k(x)$ есть $k$-я итерация функции $f(x)$:

$f^0(x)=x,f^1(x)=f(x),f^k(x)=f(f^{k-1}(x))$ при $k=1,2,3,\dots$

Для всякого $x$, принадлежащего некоторой окрестности точки $\alpha$, последовательность итераций $f^k(x)(k=0,1,2,\dots )$ сходится к $\alpha$.

Предположив также, что

$\frac{df(\alpha )}{dx}=c\ne 0,$

можно показать, что в окрестности точки $\alpha$ существует предел

$K_f(x)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{f^k(x)-\alpha }{[\frac{df(\alpha )}{dx}{]}^k},$

который является в этой окрестности аналитической функцией переменной $x$ и обладает свойствами

$K_f(\alpha )=0,\frac{d{K}_f(\alpha )}{dx}=1.$

Функция $K_f(x)$ есть функция Кёнигса. Её ввел в 1884 французский математик Шаблон:Нп1 при исследовании функционального уравнения Шрёдера. Всякое аналитическое в окрестности точки $x=\alpha$ решение уравнения Шрёдера, в котором $0<|c|<1$, отличается от $K_f(x)$ только постоянным множителем.

Впервые в математике функцию Кёнигса по существу вычислял Генри Бригс при составлении таблиц логарифмов. Если

$f(x)=\sqrt{x}$ и $c=\frac{1}{2}$, то решением соответствующего уравнения Шрёдера

$F[\sqrt{x}]=\frac{1}{2}F(x)$,

является $F(x)={\log }_{p}x$ для любого $p>0$, так что $F(x)=A{\log }_{10}x$, где $A={\log }_{p}10$ — произвольная константа. Метод вычисления функции ${\log }_{10}x$ у Бриггса есть численная реализация предельного перехода в приведенном выше определении функции Кёнигса. Он был опубликован в 1624 году в книге Бригса «Логарифмическая арифметика».

Литература

• Briggs H. Arithmetica logarithmica. Londini, 1624
• Цейтен Г. Г. История математики в XVI и XVII веках. М.-Л.: ОНТИ, 1938.
• Koenigs G. Recherches sur les intégrals de certaines équations fontionnelles. Ann. École Normale, Suppl., 1884, (3)1.
• Montel P. Leçons sur les récurrences et leurs applications. Paris, 1957.
• Головинский И. А. Ранняя история аналитических итераций и функциональных уравнений. // Историко-математические исследования. М.: Наука, вып. XXV, 1980, с. 25—51.
• Горяйнов В. В. Функция Кёнигса и дробное итерирование вероятностных производящих функций. // Матем. сборник, т. 193 (2002), № 7, с. 69-86.