Сриниваса Рамануджан

Шаблон:Тамильское имя Шаблон:Учёный Сринива́са Рамануджа́н Айенго́р (Шаблон:Audio; Шаблон:Lang-ta Шаблон:IPA; Шаблон:Lang-en; 22 декабря 1887 — 26 апреля 1920) — индийский математик.

Не имея специального математического образования, получил замечательные результаты в области теории чисел. Наиболее значительна его работа совместно с Годфри Харди по асимптотике числа разбиений p(n).

Биография

Рамануджан родился 22 декабря 1887 года в городе Ироду, Мадрасское президентство, на юге Индии, в тамильской семье. Отец работал бухгалтером в небольшой текстильной лавке в городе Кумбаконаме Танджорского района Мадрасского президентства. Мать была глубоко религиозна. Рамануджан воспитывался в строгих традициях замкнутой касты брахманов. В 1889 году он перенёс оспу, но сумел выжить и выздороветь.

В школе проявились его незаурядные способности к математике, и знакомый студент из города Мадраса дал ему книги по тригонометрии. В 14 лет Рамануджан открыл формулу Эйлера и был очень расстроен, узнав, что она уже опубликована. В 16 лет в его руки попало двухтомное сочинение математика Джорджа Шубриджа Карра «Сборник элементарных результатов чистой и прикладной математики», написанное почти за четверть века до этого (впоследствии, благодаря связи с именем Рамануджана, эта книга была подвергнута тщательному анализу). В нём было помещено 6165 теорем и формул, практически без доказательств и пояснений. Юноша, не имевший ни доступа в вуз, ни общения с математиками, погрузился в общение с этим сводом формул. Таким образом, у него сложился определённый способ мышления, своеобразный стиль доказательств. В этот период и определилась математическая судьба Рамануджана. Среди покровителей Рамануджана на этом поприще были его начальник сэр Фрэнсис Спринг, его коллега Шаблон:Nobr и будущий секретарь Индийского математического общества Шаблон:Nobr.

В январе 1913 года Рамануджан написал письмо известному профессору Кембриджского университета Годфри Харди. В письме Рамануджан сообщал, что он не оканчивал университета, а после средней школы занимается математикой самостоятельно. К письму были приложены формулы, автор просил их опубликовать, если они интересны, поскольку сам он беден и не имеет для публикации достаточных средств. Между кембриджским профессором и индийским клерком завязалась оживлённая переписка, в результате которой у Харди накопилось около 120 формул, неизвестных науке того времени. По настоянию Харди Рамануджан приехал в Кембридж. Там он был избран в члены Английского Королевского общества (Английская академия наук) и одновременно профессором Кембриджского университета. Он был первым индийцем, удостоенным таких почестей. Печатные труды с его формулами выходили один за другим, вызывая удивление, а подчас и недоумение коллег.

В формировании математического мира Рамануджана начальный запас математических фактов объединился с огромным запасом наблюдений над конкретными числами. Он коллекционировал такие факты с детства. Он обладал поразительной способностью подмечать огромный числовой материал. По словам Харди, «каждое натуральное число было личным другом Рамануджана»Шаблон:Нет АИ. Многие математики (как современники Рамануджана, так и наши современники) считают Рамануджана гением, опередившим развитие науки на много десятилетийШаблон:Нет АИ.

По семейным обстоятельствам Рамануджан вернулся в Индию, где и умер 26 апреля 1920 года. Причиной ранней (в возрасте 32 лет) смерти мог быть туберкулёз, усугублённый последствиями недоедания, истощения и стресса. В 1994 году предположили, что у Рамануджана мог быть амёбиаз.

Научные интересы и результаты

Сфера его математических интересов была очень широка. Это магические квадраты, квадратура круга, бесконечные ряды, гладкие числа, разбиения чисел, гипергеометрические функции, специальные суммы и функции, ныне носящие его имя, определённые интегралы, эллиптические и модулярные функции.

Он нашёл несколько частных решений уравнения Эйлера (см. задача о четырёх кубах), сформулировал около 120 теорем (в основном в виде исключительно сложных тождеств). Современными математиками Рамануджан считается крупнейшим знатоком цепных дробей в мире. Одним из самых замечательных результатов Рамануджана в этой области является формула, в соответствии с которой сумма простого числового ряда с цепной дробью в точности равна выражению, в котором присутствует произведение $e$ на $\pi$:

$1+\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 3\cdot 5}+\frac{1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7}+\frac{1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9}+\dots +\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{2}{1+\frac{3}{1+\frac{4}{1+\frac{5}{1+\dots }}}}}}=\sqrt{\frac{e\cdot \pi }{2}}.$

Математикам хорошо известна формула вычисления числа $\pi$, полученная Рамануджаном в 1910 году путём разложения арктангенса в ряд Тейлора:

$\pi =\frac{9801}{2\sqrt{2}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(4k)!}{(k!{)}^4}\times \frac{[1103+26390k]}{(4\times 99{)}^{4k}}}.$

Уже при суммировании первых 100 элементов ($k=100$) этого ряда достигается точность в шестьсот верных значащих цифр.

Примеры бесконечных сумм, найденных Рамануджаном:

$1-5{\left(\frac{1}{2}\right)}^3+9{\left(\frac{1\times 3}{2\times 4}\right)}^3-13{\left(\frac{1\times 3\times 5}{2\times 4\times 6}\right)}^3+\dots =\frac{2}{\pi }$.

$1+9{\left(\frac{1}{4}\right)}^4+17{\left(\frac{1\times 5}{4\times 8}\right)}^4+25{\left(\frac{1\times 5\times 9}{4\times 8\times 12}\right)}^4+\dots =\frac{2^{\frac{3}{2}}}{{\pi }^{\frac{1}{2}}{\mathrm{\Gamma }}^2\left(\frac{3}{4}\right)}.$

Эти удивительные формулы — одни из предложенных им в первом письме к Харди. Доказательства этих равенств нетривиальны.

Другие формулы Рамануджана не менее изящны:

$\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\dots }}}}=3.$

Шаблон:Начало скрытого блока Рамануджан предложил следующее доказательство. Заметим, что

$n^2=1+n^2-1$,

$n^2=1+(n-1)(n+1)$,

$n=\sqrt{1+(n-1)(n+1)}$.

Тогда

$3=\sqrt{1+2\cdot 4}$

$4=\sqrt{1+3\cdot 5}$

$5=\sqrt{1+4\cdot 6}$

$⋮$

Объединяя первые три равенства, получаем

$3=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\cdot 6}}}$.

Если продолжать процесс подстановки выражений вида $n=\sqrt{1+(n-1)(n+1)}$ бесконечно, то получится формула Рамануджана.

$3=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\cdot 6}}}=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5\cdot 7}}}}=\cdots =\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\dots }}}}$.

Позже было замечено, что это доказательство Рамануджана является неполным. Такую подстановку нельзя делать бесконечное число раз. В противном случае можно было бы предложить и другие решения. Например,

$4=\sqrt{16}=\sqrt{1+2(15/2)}=\sqrt{1+2\sqrt{1+3(221/12)}}=\cdots =\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+\cdots }}}.$

При этом, действительно, последовательность

$u_1=\sqrt{1}$

$u_2=\sqrt{1+2\sqrt{1}}$

$u_3=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1}}}$

$⋮$

$u_n=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+\dots +n\sqrt{1}}}}$

имеет предел, равный 3.

Доказательство Рамануджана даёт только верхнюю оценку, показывая, что $u_n\le 3$ для любого (конечного) $n$. Таким образом последовательность $u_n$ ограничена сверху. Легко проверить, что последовательность $u_n$ возрастает. Поэтому по теореме Вейерштрасса последовательность $u_n$ имеет конечный предел $\le 3$. Осталось показать, что он действительно равен 3. Следуя определению предела последовательности, покажем, что для любого $\epsilon >0$ существует такое число $N$, что $3-u_n<\epsilon$ для всех $n\ge N$. Пусть $3-\epsilon =3r$, где $0<r=1-\epsilon /3<1.$ Теперь покажем, что

$u_n>3r=r\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+\dots +n\sqrt{1+(n+1)(n+3)}}}}$.

Внесём $r$ под корни

$\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+\dots +n\sqrt{1}}}}>\sqrt{r^2+2\sqrt{r^{2^2}+3\sqrt{r^{2^3}+\dots +n\sqrt{r^{2^n}(1+(n+1)(n+3))}}}}$.

Заметим, что $r^{2^i}<1$ для любого $i$. Следовательно, существует такое натуральное число $N^{\prime }$, что для всех $n\ge N^{\prime }$

$r^{2^n}(1+(n+1)(n+3))=r^{2^n}(n+2{)}^2<1$,

так как $r^{2^n}(n+2{)}^2\to 0$ при $n\to \mathrm{\infty }$. Таким образом, для всех $n\ge N=N^{\prime }$ выполняется $3-u_n<\epsilon$. Шаблон:Конец скрытого блока

$x^3+y^3+z^3=w^3$, где

$\begin{array}{cc}x& =3a^2+5ab-5b^2,\\ y& =5a^2-5ab-3b^2,\\ z& =4a^2-4ab+6b^2,\\ w& =6a^2-4ab+4b^2.\end{array}$

$e^{\pi \sqrt{58}}=396^4-104,000000177...$

Следующая формула верна для Шаблон:Math:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1+\frac{x^2}{(b+1{)}^2}}{1+\frac{x^2}{a^2}}\times \frac{1+\frac{x^2}{(b+2{)}^2}}{1+\frac{x^2}{(a+1{)}^2}}\times \dots dx=\frac{\sqrt{\pi }}{2}\times \frac{\mathrm{\Gamma }(a+\frac{1}{2})\mathrm{\Gamma }(b+1)\mathrm{\Gamma }(b-a+1)}{\mathrm{\Gamma }(a)\mathrm{\Gamma }(b+\frac{1}{2})\mathrm{\Gamma }(b-a+\frac{1}{2})}.$

Признание и оценки

Бюст Рамануджана в саду Шаблон:Iw в Калькутте

Харди остроумно прокомментировал результаты, сообщённые ему Рамануджаном: «Они должны быть истинными, поскольку если бы они не были истинными, то ни у кого не хватило бы воображения, чтобы изобрести их»Шаблон:Нет АИ. Его формулы иногда всплывают в современнейших разделах науки, о которых в его время никто даже не догадывался.

Сам Рамануджан говорил, что формулы являлись ему во сне и внушались в молитве (в индуизме: в мантра-йоге, медитации) богиней Намагири Тхайяр (Махалакшми) (Шаблон:Lang-hi), почитаемой в Намаккале (Шаблон:Lang-ta).

Чтобы сохранить наследие этого удивительного, ни на кого не похожего математика, в 1957 году Институт фундаментальных исследований Тата издал двухтомник с фотокопиями его черновиков.

Шаблон:Начало цитаты Наука ничего не выиграла от того, что Шаблон:Не переведено отверг единственного большого учёного, которого он имел, и потеря была неизмеримой. Судьба Рамануджана — худший известный мне пример вреда, который может быть причинён малоэффективной и негибкой системой образования. Требовалось так мало, всего 60 фунтов стерлингов в год на протяжении 5 лет и эпизодического общения с людьми, имеющими настоящие знания и немного воображения, и мир получил бы ещё одного из величайших своих математиков… Шаблон:Конец цитаты

Понятия, связанные с именем Рамануджана

Рамануджан на почтовой марке 2011 года

Именем Рамануджана названы математические объекты и утверждения, учебные учреждения, журналы и премии. В частности:

• Гипотеза Рамануджана
• Суммы Рамануджана
• Функция Рамануджана
• Константа Ландау — Рамануджана
• Число Рамануджана — Харди
• Тождество Роджерса — Рамануджана
• Теорема Харди — Рамануджана
• Тождество Доугалла — Рамануджана
• Граф Рамануджана
• Премия SASTRA Ramanujan

В кинематографе

Математик-самоучка Рамануджан — главный герой следующих художественных фильмов:

• «Шаблон:Iw» (2014) производства Индии;
• «Человек, который познал бесконечность» (2015) производства Великобритании, по одноимённой биографии Роберта Канигела.
• Амита Рамануджан, героиня сериала «4исла», названная в честь математика.
• «Умница Уилл Хантинг» (1997) производства США. Упоминается в диалоге профессора математики Джеральда Лембо и психолога Шона.

Литература

• The Man Who Knew Infinity: A Life of the Genius Ramanujan, 1991, Robert Kanigel
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга (альтернативная ссылка)
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Список литературы о Рамануджане в рунете
• George E. Andrews, Bruce C. Berndt Ramanujan’s Lost Notebook: Part I, II, III, IV Шаблон:ISBN, 2008, Шаблон:ISBN, 2012, Шаблон:ISBN, 2013, Шаблон:ISBN)