Теорема Харди — Рамануджана

В математике теорема Харди — Рамануджана- Каца утверждает, что скорость роста числа $\omega (n)$ различных простых делителей числа $n$ определяется функцией повторного логарифма — $\log (\log (n))$, а «разброс» числа делителей — квадратным корнем этой функции.

Теорема

Пусть действительная функция $f(n)$ такова, что $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(n)=\mathrm{\infty }$, и пусть $g(x)$ — число натуральных чисел $n<x$, для которых выполнено следующее неравенство

$|\omega (n)-\log (\log (n))|<f(n)\sqrt{\log (\log (n))}$

или более традиционно

$|\omega (n)-\log (\log (n))|<{(\log (\log (n)))}^{\frac{1}{2}+\epsilon }$ , где $\epsilon >0$

Тогда

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{g(x)}{x}=1$

Простое доказательство этой теоремы нашел Пал Туран.

Обобщения и усиления

Такой же результат верен и для числа всех простых сомножителей в разложении числа $n$.

Эта теорема обобщается теоремой Эрдёша — Каца, в которой доказывается, что распределение различных простых делителей натуральных чисел является нормальным со «средним» и «дисперсией» равными $\log (\log (n))$. Таким образом, имеется некоторая связь между распределением числа простых делителей и предельными законами теории вероятностей — центральной предельной теоремой и законом повторного логарифма.