Константа Ландау — Рамануджана

В математике Константа Ландау — Рамануджана является результатом теории чисел о плотности сумм двух квадратов целых чисел на числовой оси. Эта теорема была доказана независимо Эдмундом Ландау и Сринивасой Рамануджаном.

Теорема о плотности сумм двух квадратов

Если $N(x)$ - число целых на отрезке $[1,x]$, которые являются суммой двух квадратов целых чисел, то

$N(x)=\frac{Cx}{\sqrt{\ln (x)}}(1+o(1)),$

где $C$ — константа пропорциональности Ландау — Рамануджана:

$C=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{N(x)\sqrt{\ln (x)}}{x}\approx 0,76422365358922066299069873125.$

Точность приближения целого суммой двух квадратов

Из теоремы Ландау — Рамануджана следует, что при растущем $x$ средняя ошибка приближения целого числа из интервала от 1 до $x$ суммой двух квадратов целых чисел не менее $\frac{\sqrt{\ln (x)}}{2C}(1+o(1))$. Известная сегодня (2013) тривиальная оценка ошибки такого приближения сверху существенно больше — $O(x^{1/4})$. Со времен Эйлера существует гипотеза о том, что

$\underset{u,w\in \mathbb{Z}}{\min }|x-u^2-w^2|⩽x^{\epsilon },$

где $\epsilon >0,\epsilon$ — любое, $x⩾x_1(\epsilon )$.

Данная задача является обобщением проблемы Варинга.

Критерий возможности точного представления

Число $a$ представимо в виде $s^2+t^2=a$ ($s$ и $t$ - целые) тогда и только тогда, когда все простые числа вида $4k+3$ входят в каноническое разложение числа с чётной степенью.

Этот результат впервые был получен Ферма, а доказан Эйлером.

Ссылки

• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:OEIS