Задача о четырёх кубах

Задача о четырёх кубах заключается в отыскании всех целочисленных решений диофантова уравнения:

x^{3} + y^{3} + z^{3} = w^{3} .

В то время как предложено несколько полных решений этого уравнения в рациональных числах, его полное решение в целых числах на 2023 год неизвестно^[1].

История

Еще Платону было известно, что сумма кубов сторон пифагорейского треугольника также является кубом $3^{3} + 4^{3} + 5^{3} = 6^{3}$ ^[2], о чем он упоминает в своем «Государстве»^[3].

Примеры целочисленных решений

Наименьшие натуральные решения:

3^{3} + 4^{3} + 5^{3} = 6^{3}

1^{3} + 6^{3} + 8^{3} = 9^{3}

3^{3} + 1 0^{3} + 1 8^{3} = 1 9^{3}

7^{3} + 1 4^{3} + 1 7^{3} = 2 0^{3}

4^{3} + 1 7^{3} + 2 2^{3} = 2 5^{3}

1 8^{3} + 1 9^{3} + 2 1^{3} = 2 8^{3}

1 1^{3} + 1 5^{3} + 2 7^{3} = 2 9^{3}

2^{3} + 1 7^{3} + 4 0^{3} = 4 1^{3}

6^{3} + 3 2^{3} + 3 3^{3} = 4 1^{3}

1 6^{3} + 2 3^{3} + 4 1^{3} = 4 4^{3}

Если разрешить отрицательные значения, то имеют место тождества:

- 1^{3} + 9^{3} + 1 0^{3} = 1 2^{3}

- 2^{3} + 9^{3} + 1 5^{3} = 1 6^{3}

- 2^{3} + 1 5^{3} + 3 3^{3} = 3 4^{3}

- 2^{3} + 4 1^{3} + 8 6^{3} = 8 9^{3}

- 3^{3} + 2 2^{3} + 5 9^{3} = 6 0^{3}

Полные рациональные параметризации

Г. Харди и Райт (1938)^[4]^[5]

$x = - a (b - 3 c) (b^{2} + 3 c^{2}) + a^{4}$

$y = a (b + 3 c) (b^{2} + 3 c^{2}) - a^{4}$

$z = a^{3} (b - 3 c) - (b^{2} + 3 c^{2})^{2}$

$w = a^{3} (b + 3 c) - (b^{2} + 3 c^{2})^{2}$

Н. Элкис^[1]: ${\begin{matrix} x = d (- (s + r) t^{2} + (s^{2} + 2 r^{2}) t - s^{3} + r s^{2} - 2 r^{2} s - r^{3}), \\ y = d (t^{3} - (s + r) t^{2} + (s^{2} + 2 r^{2}) t + r s^{2} - 2 r^{2} s + r^{3}), \\ z = d (- t^{3} + (s + r) t^{2} - (s^{2} + 2 r^{2}) t + 2 r s^{2} - r^{2} s + 2 r^{3}), \\ w = d ((s - 2 r) t^{2} + (r^{2} - s^{2}) t + s^{3} - r s^{2} + 2 r^{2} s - 2 r^{3}) \end{matrix}$

Другие серии решений

Шаблон:Rq

Леонард Эйлер, 1740 год

$x = 1 - (a - 3 b) (a^{2} + 3 b^{2})$

$y = - 1 + (a + 3 b) (a^{2} + 3 b^{2})$

$z = - a - 3 b + (a^{2} + 3 b^{2})^{2}$

$w = - a + 3 b + (a^{2} + 3 b^{2})^{2}$

Линник, 1940 год

$x = b (a^{6} - b^{6})$

$y = a (a^{6} - b^{6})$

$z = b (2 a^{6} + 3 a^{3} b^{3} + b^{6})$

$w = a (a^{6} + 3 a^{3} b^{3} + 2 b^{6})$

$x = a^{2} (b^{6} - 7) + 9 a c - 3 c^{2}$

$y = a^{2} [b^{3} (2 b^{3} + 9) + 7] - 3 a c (2 b^{3} + 3) + 3 c^{2}$

$z = a^{2} b [b^{3} (b^{3} + 3) + 2] - 3 a b c (b^{3} + 2) + 3 b c^{2}$

$w = a^{2} b [b^{3} (b^{3} + 6) + 11] - 3 a b c (b^{3} + 4) + 3 b c^{2}$

$x = 3 a^{2} (b^{6} - 7) - 9 a c - c^{2}$

$y = 3 a^{2} [b^{3} (2 b^{3} - 9) + 7] - 3 a c (2 b^{3} - 3) + c^{2}$

$z = 3 a^{2} b [b^{3} (b^{3} - 6) + 11] - 3 a b c (b^{3} - 4) + b c^{2}$

$w = 3 a^{2} b [b^{3} (b^{3} - 3) + 2] - 3 a b c (b^{3} - 2) + b c^{2}$

Роджер Хит-Браун, 1993 год^[6]

$x = 9 a^{4}$

$y = 3 a - 9 a^{4}$

$z = 1 - 9 a^{3}$

$w = 1$

Морделл, 1956 год

$x = 9 a^{3} b + b^{4}$

$y = 9 a^{4}$

$z = - b^{4}$

$w = 9 a^{4} + 3 a b^{3}$

$x = 9 a^{3} b - b^{4}$

$y = 9 a^{4} - 3 a b^{3}$

$z = b^{4}$

$w = 9 a^{4}$

$x = 9 a^{3} b + b^{4}$

$y = 9 a^{3} b - b^{4}$

$z = 9 a^{4} - 3 a b^{3}$

$w = 9 a^{4} + 3 a b^{3}$

Решение, полученное методом алгебраической геометрии

$x = 3 a (a^{2} + a b + b^{2}) - 9$

$y = {(a^{2} + a b + b^{2})}^{2} - 9 a$

$z = 3 (a^{2} + a b + b^{2}) (a + b) + 9$

$w = {(a^{2} + a b + b^{2})}^{2} + 9 (a + b)$

Рамануджан

$x = 3 a^{2} + 5 a b - 5 b^{2}$

$y = 4 a^{2} - 4 a b + 6 b^{2}$

$z = 5 a^{2} - 5 a b - 3 b^{2}$

$w = 6 a^{2} - 4 a b + 4 b^{2}$

$x = a^{7} - 3 a^{4} (1 + b) + a (2 + 6 b + 3 b^{2})$

$y = 2 a^{6} - 3 a^{3} (1 + 2 b) + 1 + 3 b + 3 b^{2}$

$z = a^{6} - 1 - 3 b - 3 b^{2}$

$w = a^{7} - 3 a^{4} b + a (3 b^{2} - 1)$

$x = - a^{2} + 9 a b + b^{2}$

$y = a^{2} + 7 a b - 9 b^{2}$

$z = 2 a^{2} - 4 a b + 12 b^{2}$

$w = 2 a^{2} + 10 b^{2}$

Неизвестный автор, 1825 год

$x = a^{9} - 3^{6}$

$y = - a^{9} + 3^{5} a^{3} + 3^{6}$

$z = 3^{3} a^{6} + 3^{5} a^{3}$

$w = 3^{2} a^{7} + 3^{4} a^{4} + 3^{6} a$

Д. Лемер, 1955 год

$x = 3888 a^{10} - 135 a^{4}$

$y = - 3888 a^{10} - 1296 a^{7} - 81 a^{4} + 3 a$

$z = 3888 a^{9} + 648 a^{6} - 9 a^{3} + 1$

$w = 1$

В. Б. Лабковский

$x = 4 b^{2} - 11 b - 21$

$y = 3 b^{2} + 11 b - 28$

$z = 5 b^{2} - 7 b + 42$

$w = 6 b^{2} - 7 b + 35$

Харди и Райт

$x = a (a^{3} - 2 b^{3})$

$y = b (2 a^{3} - b^{3})$

$z = b (a^{3} + b^{3})$

$w = a (a^{3} + b^{3})$

$x = a (a^{3} - b^{3})$

$y = b (a^{3} - b^{3})$

$z = b (2 a^{3} + b^{3})$

$w = a (a^{3} + 2 b^{3})$

Г. Александров, 1972 год

$x = 7 a^{2} + 17 a b - 6 b^{2}$

$y = 42 a^{2} - 17 a b - b^{2}$

$z = 56 a^{2} - 35 a b + 9 b^{2}$

$w = 63 a^{2} - 35 a b + 8 b^{2}$

$x = 7 a^{2} + 17 a b - 17 b^{2}$

$y = 17 a^{2} - 17 a b - 7 b^{2}$

$z = 14 a^{2} - 20 a b + 20 b^{2}$

$w = 20 a^{2} - 20 a b + 14 b^{2}$

$x = 21 a^{2} + 23 a b - 19 b^{2}$

$y = 19 a^{2} - 23 a b - 21 b^{2}$

$z = 18 a^{2} + 4 a b + 28 b^{2}$

$w = 28 a^{2} + 4 a b + 18 b^{2}$

$x = 3 a^{2} + 41 a b - 37 b^{2}$

$y = 37 a^{2} - 41 a b - 3 b^{2}$

$z = 36 a^{2} - 68 a b + 46 b^{2}$

$w = 46 a^{2} - 68 a b + 36 b^{2}$

$x = - 4 a^{2} + 22 a b - 9 b^{2}$

$y = 36 a^{2} - 22 a b + b^{2}$

$z = 40 a^{2} - 40 a b + 12 b^{2}$

$w = 48 a^{2} - 40 a b + 10 b^{2}$

Аджай Чоудхри, 1998 год^[7]

$d x_{1} = (a^{4} + 2 a^{3} b + 3 a^{2} b^{2} + 2 a b^{3} + b^{4}) + (2 a + b) c^{3},$

$d x_{2} = - {a^{4} + 2 a^{3} b + 3 a^{2} b^{2} + 2 a b^{3} + b^{4} - (a - b) c^{3}},$

$d x_{3} = c (- a^{3} + b^{3} + c^{3}),$

$d x_{4} = - {(2 a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}) c + c^{4}},$

где числа $a, b, c$ — произвольные целые, а число $d \neq 0$ выбрано таким образом, чтобы выполнялось условие $(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = 1$ .

Коровьев, 2012 год

$x = - (2 a^{2} - 2 a b - b^{2}) c d^{3} - (a^{2} - a b + b^{2})^{2} c^{4}$

$y = (2 a^{2} - 2 a b - b^{2}) c^{3} d + (a^{2} - a b + b^{2})^{2} d^{4}$

$z = (a^{2} + 2 a b - 2 b^{2}) c^{3} d - (a^{2} - a b + b^{2})^{2} d^{4}$

$w = (a^{2} + 2 a b - 2 b^{2}) c d^{3} - (a^{2} - a b + b^{2})^{2} c^{4}$

где $a$ , $b, c$ и $d$ — любые целые числа^[8].

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

↑ ^1,0 ^1,1 Шаблон:Книга
↑ Шаблон:Книга
↑ Шаблон:Книга
↑ Шаблон:Книга
↑ Цитата из раздела "1.3.7 Уравнение $x^{3} + y^{3} + z^{3} = t^{3}$ " из книги Харди и Райта
↑ Шаблон:Cite web
↑ Ajai Choudhry. On Equal Sums of Cubes Шаблон:Wayback. Rocky Mountain J. Math. Volume 28, Number 4 (1998), 1251-1257.
↑ Во многих случаях числа $x, y, z, w$ имеют общие делители. Чтобы получить примитивную четверку чисел, достаточно сократить каждое из чисел на их наибольший общий делитель.

[cohen1-1] 1,0 ^1,1 Шаблон:Книга

[2] Шаблон:Книга

[3] Шаблон:Книга

[4] Шаблон:Книга

[5] Цитата из раздела "1.3.7 Уравнение $x^{3} + y^{3} + z^{3} = t^{3}$ " из книги Харди и Райта

[6] Шаблон:Cite web

[7] Ajai Choudhry. On Equal Sums of Cubes Шаблон:Wayback. Rocky Mountain J. Math. Volume 28, Number 4 (1998), 1251-1257.

[8] Во многих случаях числа $x, y, z, w$ имеют общие делители. Чтобы получить примитивную четверку чисел, достаточно сократить каждое из чисел на их наибольший общий делитель.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

Задача о четырёх кубах

Содержание

История

Примеры целочисленных решений

Полные рациональные параметризации

Другие серии решений

См. также

Примечания

Литература

Навигация

Задача о четырёх кубах

История

Примеры целочисленных решений

Полные рациональные параметризации

Другие серии решений

См. также

Примечания

Литература

Навигация

Поиск