Сумма трёх кубов

Полулогарифмический график решений Шаблон:Nobr для целых чисел x, y и z и n в интервале [0, 100]. Зелёные полосы обозначают доказанное отсутствие решения

Сумма трёх кубов — в математике открытая проблема о представимости целого числа в виде суммы трёх кубов целых (положительных или отрицательных) чисел.

Соответствующее диофантово уравнение записывается как $x^3+y^3+z^3=n.$ Необходимое условие для представимости числа $n$ в виде суммы трёх кубов: $n$ при делении на 9 не даёт остаток 4 или 5.

В вариантах задачи число надо представить суммой кубов только неотрицательных или рациональных чисел. Любое целое число представимо в виде суммы рациональных кубов, но неизвестно, образуют ли суммы неотрицательных кубов множество с ненулевой асимптотической плотностью.

История

Вопрос о представлении произвольного целого числа в виде суммы трёх кубов существует уже около 200 лет, первое известное параметрическое решение в рациональных числах дано С. Рили в 1825 году. Параметрические решения в целых числах находят для $n=2$ — в 1908 году А. С. Веребрюсов (учитель математики Феодосийской мужской гимназии, сын С. И. Веребрюсова), для $n=1$ — в 1936 году МалерШаблон:R.

Решения

Необходимое условие для представимости числа $n$ в виде суммы трёх кубов: $n$ при делении на 9 не даёт остаток 4 или 5; так как куб любого целого числа при делении на 9 даёт остаток 0, 1 или 8, то сумма трёх кубов при делении на 9 не может дать остатка 4 или 5Шаблон:R. Неизвестно, является ли это условие достаточным.

В 1992 году Роджер Хит-Браун предположил, что любое $n$, не дающее остатка 4 или 5 при делении на 9, имеет бесконечно много представлений в виде сумм трёх кубовШаблон:R.

Однако неизвестно, разрешимо ли алгоритмически представление чисел в виде суммы трёх кубов, то есть может ли алгоритм за конечное время проверить существование решения для любого заданного числа. Если гипотеза Хита-Брауна верна, то проблема разрешима, и алгоритм может правильно решить задачу. Исследование Хита-Брауна также включает в себя более точные предположения о том, как далеко алгоритму придётся искать, чтобы найти явное представление, а не просто определить, существует ли оноШаблон:R.

Случай $n=33$, представление которого в виде суммы кубов долгое время не было известно, использован Бьорном Пуненом в качестве вводного примера в обзоре неразрешимых проблем теории чисел, из которых десятая проблема Гильберта является наиболее известным примеромШаблон:R.

Небольшие числа

Для $n=0$ существуют только тривиальные решения

$a^3+(-a{)}^3+0^3=0.$

Нетривиальное представление 0 в виде суммы трёх кубов дало бы контрпример к доказанной Леонардом Эйлером последней теореме Ферма для степени 3Шаблон:R: поскольку один из трёх кубов будет иметь противоположный к двум другим числам знак, следовательно его отрицание равно сумме этих двух.

Для $n=1$ и $n=2$ существует бесконечное число семейств решений, например (1 — Малер, 1936, 2 — Веребрюсов, 1908):

$(9b^4{)}^3+(3b-9b^4{)}^3+(1-9b^3{)}^3=1,$

$(1+6c^3{)}^3+(1-6c^3{)}^3+(-6c^2{)}^3=2.$

Существуют другие представления и другие параметризованные семейства представлений для 1Шаблон:R. Для 2 другими известными представлениями являютсяШаблон:R

$1214928^3+3480205^3+(-3528875{)}^3=2,$

$37404275617^3+(-25282289375{)}^3+(-33071554596{)}^3=2,$

$3737830626090^3+1490220318001^3+(-3815176160999{)}^3=2.$

Эти равенства можно использовать для разложения любого куба или удвоенного куба на сумму трёх кубовШаблон:R.

Однако 1 и 2 являются единственными числами с представлениями, которые могут быть параметризованы полиномами четвёртой степениШаблон:R. Даже в случае представлений $n=3$ Луи Дж. Морделл написал в 1953 году: «я ничего не знаю», кроме небольших решений

$4^3+4^3+(-5{)}^3=3,$

$1^3+1^3+1^3=3,$

и ещё того, что все три куба должны быть равны 1 по модулю 9Шаблон:R. 17 сентября 2019 года Эндрю Букер и Эндрю Сазерленд, нашедшие представление для сложных случаев 33 и 42 (см. ниже), опубликовали ещё одно представление 3, для нахождения которого было затрачено 4 млн. часов в вычислительной сети Charity EngineШаблон:R:

$569936821221962380720^3+(-569936821113563493509{)}^3+(-472715493453327032{)}^3=3,$

Остальные числа

С 1955 года, вслед за Морделлом, многие исследователи осуществляют поиск решений с помощью компьютераШаблон:RШаблон:R.

В 1954 году Миллер и Вуллетт находят представления для 69 чисел от 1 до 100. В 1963 году Гардинер, Лазарус, Штайн исследуют интервал от 1 до 999, они находят представления для многих чисел, кроме 70 чисел, из которых 8 значений меньше 100. В 1992 году Хит-Браун и др. нашли решение для 39. В 1994 году Кояма, используя современные компьютеры, находит решения для ещё 16 чисел от 100 до 1000. В 1994 году Конн и Вазерштайн — 84 и 960. В 1995 году Бремнер — 75 и 600, Люкс — 110, 435, 478. В 1997 году Кояма и др. — 5 новых чисел от 100 до 1000. В 1999 году Элкис — 30 и ещё 10 новых чисел от 100 до 1000. В 2007 году Бек и др. — 52, 195, 588Шаблон:R. В 2016 году Хёйсман — 74, 606, 830, 966Шаблон:R.

Elsenhans и Jahnel в 2009 годуШаблон:R использовали метод ЭлкисаШаблон:R, применяющий редуцирование базиса решётки для поиска всех решений диофантова уравнения $x^3+y^3+z^3=n$ для положительных $n$ не больше 1000 и для $\max (|x|,|y|,|z|)<10^{14}$Шаблон:R, затем Хёйсман в 2016 годуШаблон:R расширил поиск до $\max (|x|,|y|,|z|)<10^{15}$.

Весной 2019 года Эндрю Букер (Бристольский университет) разработал другую стратегию поиска со временем расчётов пропорциональным $\min (|x|,|y|,|z|)$, а не их максимуму, и нашёл представление 33 и 795Шаблон:R:

$33=8866128975287528^3+(-8778405442862239{)}^3+(-2736111468807040{)}^3,$

$795=(-14219049725358227{)}^3+14197965759741571^3+2337348783323923^3.$

В сентябре 2019 года Букер и Эндрю Сазерленд закрыли интервал до 100, найдя представление 42, для чего было затрачено 1,3 миллиона часов расчёта в глобальной вычислительной сети Charity EngineШаблон:R:

$42=(-80538738812075974{)}^3+80435758145817515^3+12602123297335631^3.$

Позже, в этом же месяце, они нашли разложение числа 906 :

$906=(-74924259395610397{)}^3+72054089679353378^3+35961979615356503^3.$

А затем 165:

$165=(-385495523231271884{)}^3+383344975542639445^3+98422560467622814^3.$

На 2019 год были найдены представления всех чисел до 100, не равных 4 или 5 по модулю 9. Остаются неизвестными представления для 7 чисел от 100 до 1000: 114, 390, 627, 633, 732, 921, 975Шаблон:R.

Наименьший нерешённый случай — $n=114$Шаблон:R.

Варианты

Существует вариант задачи, в котором число необходимо представить в виде суммы трёх кубов неотрицательных целых чисел, эта задача связана с проблемой Варинга. В XIX веке Карл Густав Якоб Якоби и его коллеги составили таблицы решений этой задачиШаблон:R. Предполагается, но не доказано, что представимые числа имеют положительную асимптотическую плотностьШаблон:R, хотя Тревор Вули показал, что таким образом возможно представить $\mathrm{\Omega }(n^{0,917})$ чисел в интервале от $1$ до $n$Шаблон:R. Плотность не более $\mathrm{\Gamma }(4/3{)}^3/6\approx 0,119$Шаблон:R.

Ещё один вариант — с рациональными числами. Известно, что любое целое число может быть представлено в виде суммы трёх кубов рациональных чиселШаблон:R.

См. также

• Задача о четырёх кубах
• Проблема Варинга

Ссылки

• Solutions of Шаблон:Math for Шаблон:Math, Hisanori Mishima
• threecubes, Daniel J. Bernstein
• Sums of three cubes, Mathpages
• The Uncracked Problem with 33, Timothy Browning on Numberphile
• 42 is the new 33, Andrew Booker on Numberphile