Гипотеза Эйлера

Гипотеза Эйлера — предположение о том, что для любого натурального числа $n>2$ никакую $n$-ю степень натурального числа нельзя представить в виде суммы $(n-1)$ $n$-х степеней других натуральных чисел. То есть уравнения:

$\begin{array}{c}{a}^3+b^3=c^3\\ a^4+b^4+c^4=d^4\\ a^5+b^5+c^5+d^5=e^5\\ \dots \\ \sum _{k=1}^{n-1}{a}_k^n=a_n^n\end{array}$

не имеют решения в натуральных числах. ОпровергнутаШаблон:Переход.

Гипотеза была высказана в 1769 году Эйлером как обобщение великой теоремы Ферма, которая соответствует частному случаю $n=3$. Таким образом, гипотеза Эйлера верна для $n=3$.

Контрпримеры

В 1966 году с помощью суперкомпьютера CDC 6600 инженерами Дармутского колледжа Ландером и Паркиным найден первый контрпример для $n=5$:

$27^5+84^5+110^5+133^5=144^5$.

В 1986 году Ноам Элкис нашёл контрпример для случая $n=4$:

$2682440^4+15365639^4+18796760^4=20615673^4$.

В 1988 году Роджер Фрай (Шаблон:Lang-en) нашёл наименьший контрпример для $n=4$:

$95800^4+217519^4+414560^4=422481^4$.

Обобщения

Шаблон:Main В 1966 году Шаблон:Iw совместно с нашедшими первый контпример Ландером и Паркиным высказал гипотезу, что если $\sum _{i=1}^n{a}_i^k=\sum _{j=1}^m{b}_j^k$, где $a_i\ne b_j$ — положительные целые числа, $i=\overline{1,n},j=\overline{1,m}$, то $m+n⩾k$.

В случае справедливости этой гипотезы из неё, в частности, следовало бы, что если $\sum _{i=1}^n{a}_i^k=b^k$, то $n⩾k-1$.

Набор положительных целых чисел, удовлетворяющий равенству $\sum _{i=1}^n{a}_i^k=\sum _{j=1}^m{b}_j^k$, где $a_i\ne b_j$, называется $(k,n,m)$-решением. Поиском таких решений для различных значений параметров $k$, $n$, $m$ занимаются проекты распределённых вычислений EulerNet и yoyo@home.

См. также

• Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера

Ссылки

• EulerNet Шаблон:Wayback
• Гипотеза Эйлера Шаблон:Wayback