Модулярная функция

Модулярная функция — мероморфная функция, определённая на верхней комплексной полуплоскости (то есть на множестве $ℍ=\{x+iy\mid y>0;x,y\in ℝ\}$), являющаяся инвариантной относительно превращений модулярной группы или некоторой её подгруппы и удовлетворяющая условиям голоморфности в параболических точках. Модулярные функции и обобщающие их модулярные формыШаблон:Переход широко используются в теории чисел, а также в алгебраической топологии и теории струн.

Формально, модулярной функцией называется мероморфная функция, удовлетворяющая условию

$f\left(\frac{az+b}{cz+d}\right)=f(z)$

для каждой матрицы

$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right),$

принадлежащей модулярной группе $PSL(2,\mathbb{Z})$.

Модулярная форма

Модулярной формой веса $k$ для группы ${\mathrm{\Gamma }}_0(N)$ называется голоморфная функция $f:H\to C$, удовлетворяющая условию

$f(g\tau )=(c\tau +d{)}^{k}f(\tau )$ для любых $g=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in {\mathrm{\Gamma }}_0(N)$ и $\tau \in H$

и голоморфная во всех параболических точкахШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Пусть $H$ — верхняя комплексная полуплоскость: $H=\{z\in C\mid \mathrm{Im}(z)>0\}$. Группа матриц ${\mathrm{\Gamma }}_0(N)$ для натурального числа $N$ определяется как

${\mathrm{\Gamma }}_0(N)=\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in S{L}_2|c\equiv 0(\mathrm{mod}N)\}$.

Группа ${\mathrm{\Gamma }}_0(N)$ действует на $H$ с помощью дробно-линейных преобразований $g\tau =\frac{a\tau +b}{c\tau +d},$ где $g=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in {\mathrm{\Gamma }}_0(N)$ и $\tau \in H$.Шаблон:Sfn

Свойства модулярных форм

Модулярные формы нечётного веса равны нулю. Модулярной формой веса $2k$ является (при $k>1$) ряд Эйзенштейна:

$G_{2k}(\tau )=\sum _{(m,n)\in {\mathbb{Z}}^2\mathrm{\setminus }(0,0)}\frac{1}{(m+n\tau {)}^{2k}},$

где $z\in ℍ$.

Пусть

$g_2=60\sum _{(m,n)\ne (0,0)}(m+n\tau {)}^{-4},g_3=140\sum _{(m,n)\ne (0,0)}(m+n\tau {)}^{-6}$

— модулярные инварианты, $\mathrm{\Delta }=g_2^3-27g_3^2$ — модулярный дискриминант. Определим следующим образом основной модулярный инвариант (Шаблон:Iw):

$j(\tau )=1728\frac{g_2^3}{\mathrm{\Delta }}.$

Тогда выполняются равенства

$g_2(\tau +1)=g_2(\tau ),g_2(-{\tau }^{-1})={\tau }^4{g}_2(\tau ),$

$\mathrm{\Delta }(\tau +1)=\mathrm{\Delta }(\tau ),\mathrm{\Delta }(-{\tau }^{-1})={\tau }^{12}\mathrm{\Delta }(\tau ).$

Также данные функции удовлетворяют соответствующие свойства голоморфности. То есть $g_2$ — модулярная форма веса 4, $\mathrm{\Delta }$ — модулярная форма веса 12. Соответственно $g_2^3$ — модулярная форма веса 12, а $j(z)$ — модулярная функция. Данные функции имеют важное применение в теории эллиптических функций и эллиптических кривых.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Ссылки

• J. S. Milne, Modular functions and modular forms, курс лекций.