Эллиптические функции Вейерштрасса

Эллиптические функции Вейерштрасса — одни из самых простых эллиптических функций. Этот класс функций (зависящих от эллиптической кривой) назван в честь Карла Вейерштрасса. Также их называют $\mathrm{\wp }$-функциями Вейерштрасса, и используют для их обозначения символ $\mathrm{\wp }$ (стилизованное P).

Определение

Пусть задана эллиптическая кривая $E=ℂ/\mathrm{\Gamma }$, где $\mathrm{\Gamma }$ — решётка в $ℂ$. Тогда $\mathrm{\wp }$-функцией Вейерштрасса на ней называется мероморфная функция, заданная как сумма ряда

${\mathrm{\wp }}_E(z)=\frac{1}{z^2}+\sum _{w\in \mathrm{\Gamma }\setminus \{0\}}(\frac{1}{(z-w{)}^2}-\frac{1}{w^2}).$

Можно увидеть, что так определённая функция будет $\mathrm{\Gamma }$-периодичной на $ℂ$, и потому является мероморфной функцией на $E$.

Задающий функцию Вейерштрасса ряд является, в определённом смысле, «регуляризованной версией» расходящегося ряда $\sum _{w\in \mathrm{\Gamma }}\frac{1}{(z-w{)}^2}$ — «наивной» попытки задать $\mathrm{\Gamma }$-периодическую функцию. Этот последний абсолютно расходится (а при отсутствии естественного порядка на $\mathrm{\Gamma }$ имеет смысл говорить только об абсолютной сходимости) при всех z, поскольку при фиксированном z и при больших w модули его членов ведут себя как$\frac{1}{|w{|}^2}$, а сумма $\sum _{w\in \mathrm{\Gamma }}\frac{1}{|w{|}^2}$ по двумерной решётке $\mathrm{\Gamma }$ расходится.

Варианты определения

Задавая решётку $\mathrm{\Gamma }$ её базисом, $\mathrm{\Gamma }=\{m{\omega }_1+n{\omega }_2\mid m,n\in \mathbb{Z}\}$, можно записать

$\mathrm{\wp }(z;{\omega }_1,{\omega }_2)=\frac{1}{z^2}+\sum _{(m,n)\in {\mathbb{Z}}^2\setminus \{(0,0)\}}(\frac{1}{(z-m{\omega }_1-n{\omega }_2{)}^2}-\frac{1}{(m{\omega }_1+n{\omega }_2{)}^2}).$

Также, поскольку функция Вейерштрасса как функция трёх переменных однородна, а именно, $\mathrm{\wp }(az;a{\omega }_1,a{\omega }_2)=a^{-2}\mathrm{\wp }(z;{\omega }_1,{\omega }_2)$, для $\tau ={\omega }_2/{\omega }_1$ имеет место равенство

$\mathrm{\wp }(z;{\omega }_1,{\omega }_2)={\omega }_1^{-2}\mathrm{\wp }(z/{\omega }_1;1,\tau ).$

Поэтому рассматривают

$\mathrm{\wp }(z;\tau )=\mathrm{\wp }(z;1,\tau )=\frac{1}{z^2}+\sum _{(m,n)\in {\mathbb{Z}}^2\setminus \{(0,0)\}}(\frac{1}{(z-m-n\tau {)}^2}-\frac{1}{(m+n\tau {)}^2}).$

Свойства

• Функция Вейерштрасса ${\mathrm{\wp }}_E:E\mapsto \widehat{ℂ}$ — чётная мероморфная функция на эллиптической кривой E, с единственным полюсом второго порядка в точке 0.
• Как мероморфное отображение степени 2, она задаёт двулистное разветвлённое накрытие сферы Римана тором E. У этого накрытия есть четыре точки ветвления: бесконечность и три критических значения $e_1,e_2,e_3$. Эти четыре значения являются образами четырёх точек, оставляемых на месте автоморфизмом $z\mapsto -z$ кривой E — точки 0 и трёх полупериодов ${\omega }_1/2,{\omega }_2/2,({\omega }_1+{\omega }_2)/2$. Таким образом, функция Вейерштрасса осуществляет изоморфизм (или, точнее, спускается до изоморфизма) между топологической сферой $E/(z\mapsto -z)$ (наследующей с E комплексную структуру) и сферой Римана $\widehat{ℂ}$.
• Воспользовавшись разложением $\frac{1}{(w-z{)}^2}=\frac{1}{w^2}+\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{j+1}{w^{j+2}}{z}^j$ и просуммировав по $w\in \mathrm{\Gamma }\setminus \{0\}$, можно получить разложение в точке $z=0$ функции Вейерштрасса в ряд Лорана:

${\mathrm{\wp }}_E(z)=\frac{1}{z^2}+\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}(2k+1)G_{2k}(\mathrm{\Gamma })z^{2k-2},$ где $G_{2k}(\mathrm{\Gamma })=\sum _{w\in \mathrm{\Gamma }\setminus \{0\}}{w}^{-2k}$ — ряды Эйзенштейна для решётки $\mathrm{\Gamma }$ (соответствующие нечётные суммы равны нулю).

Однако, коэффициенты при $z^2$ и $z^4$ зачастую записывают в другой, традиционной, нормировке, связанной (см. ниже) с вложением эллиптической кривой в $ℂP^2$:

${\mathrm{\wp }}_E(z)=\frac{1}{z^2}+\frac{1}{20}{g}_2(\mathrm{\Gamma })z^2+\frac{1}{28}{g}_3(\mathrm{\Gamma })z^4+\dots ,$

где $g_2$ и $g_3$ — модулярные инварианты решётки $\mathrm{\Gamma }$:

$g_2(\mathrm{\Gamma })=60G_4(\mathrm{\Gamma }),g_3(\mathrm{\Gamma })=140G_6(\mathrm{\Gamma }).$

Вложение эллиптических кривых в ℂP²

Функции Вейерштрасса позволяют построить вложение эллиптической кривой в $ℂP^2$, предъявив уравнение, которым задаётся образ. Это устанавливает соответствие между «алгебраическим» и «топологическим» взглядами на эллиптическую кривую — позволяя вложить эллиптическую кривую $E=ℂ/\mathrm{\Gamma }$ в $ℂP^2$ и выписать явно уравнение, задающее образ.

А именно, рассмотрим отображение $F:E\to ℂP^2$, задаваемое вне точки $z=0$ как $F(z)=(\mathrm{\wp }(z),{\mathrm{\wp }}^{\prime }(z))\in {ℂ}^2.$ Поскольку функция $\mathrm{\wp }$ мероморфная — это отображение продолжается до голоморфного отображения из $E$ в $ℂP^2$.

Образ этого отображение может быть явно задан. А именно, единственный полюс как функции $\mathrm{\wp }(z)$, так и функции ${\mathrm{\wp }}^{\prime }(z)$ — это точка $z=0$. Более того, поскольку $\mathrm{\wp }(z)$ — чётная функция, ${\mathrm{\wp }}^{\prime }(z)$ — нечётная, и, соответственно, $({\mathrm{\wp }}^{\prime }(z){)}^2$ — чётная. Функция $\mathrm{\wp }(z)$ имеет в нуле полюс второго порядка — поэтому полюса $({\mathrm{\wp }}^{\prime }{)}^2$ могут быть убраны вычитанием линейной комбинации степеней $\mathrm{\wp }$. Явно подбирая коэффициенты из разложений

${\mathrm{\wp }}_E(z)=\frac{1}{z^2}+\frac{1}{20}{g}_2(\mathrm{\Gamma })z^2+\frac{1}{28}{g}_3(\mathrm{\Gamma })z^4+\dots ,$

$(\mathrm{\wp }{\text{'}}_E(z){)}^2={(-\frac{2}{z^3}+\frac{1}{10}{g}_2(\mathrm{\Gamma })z+\frac{1}{7}{g}_3(\mathrm{\Gamma })z^3+\dots )}^2=\frac{4}{z^6}-\frac{2}{5}{g}_2(\mathrm{\Gamma })\frac{1}{z^2}-\frac{4}{7}{g}_3(\mathrm{\Gamma })+\dots ,$

видим, что разница

$\phi (z)=({{\mathrm{\wp }}_E}^{\prime }(z){)}^2-4{\mathrm{\wp }}_E^3(z)+g_2(E)\mathrm{\wp }(z)$

в точке $z=0$ неособая. Но $\phi (z)$ голоморфна и вне $z=0$ (в силу голоморфности $\mathrm{\wp }$ и ${\mathrm{\wp }}^{\prime }$), поэтому $\phi (z)$ — голоморфная на всей компактной римановой поверхности $E$ функция. В силу принципа максимума $\phi (z)$ — константа. Наконец, из всё того же разложения в нуле находим её значение — оно оказывается равным $-g_3(E)$. Окончательно, функция $({\mathrm{\wp }}^{\prime }(z){)}^2-4{\mathrm{\wp }}^3(z)+g_2(E)\mathrm{\wp }(z)+g_3(E)$ обращается на $E$ в тождественный нуль. Тем самым, образ отображения $F$ это эллиптическая кривая в $ℂP^2$, задаваемая уравнением

$y^2=4x^3-g_2(E)x-g_3(E).$

Собственно говоря, именно с этим связаны «исторические» коэффициенты 60 и 140, связывающие модулярные инварианты $g_2$ и $g_3$ с соответствующими суммами обратных степеней $G_2(E)$ и $G_3(E)$: благодаря такому традиционному выбору нормировки, в уравнении на кривую $g_2$ и $g_3$ — это в точности коэффициент при $x$ и свободный член.

Голоморфные формы, решётки периодов и обратное отображение

Для эллиптической кривой $E$ задающая её решётка $\mathrm{\Gamma }$ не является однозначно заданной: она определена с точностью до пропорциональности. Однако, решётка взаимно-однозначно соответствует паре $(E,\omega )$, где $\omega$ — ненулевая голоморфная 1-форма на $E$: в качестве $\omega$ можно взять проекцию на $E$ формы $dz$ на $ℂ$, тогда $\mathrm{\Gamma }$ восстанавливается как набор всевозможных интегралов $\omega$ по петлям на торе $E$:

$\mathrm{\Gamma }=\{\underset{\gamma }{\int }\omega \mid \gamma \in H_1(E)\}$

На эллиптической кривой $y^2=4x^3+g_2(E)x+g_3(E)$, являющейся образом отображения $F=({\mathrm{\wp }}_E,\mathrm{\wp }{\text{'}}_E)$, имеется голоморфная форма $\omega =\frac{dx}{y}$. Несложно видеть, что она является в точности образом формы $dz$ на $E$ при отображении $F$. Это позволяет прийти сразу к нескольким выводам:

• Обратное отображение к отображению $F$ ищется как интеграл формы $\omega$:

$z(x,y)=\underset{\mathrm{\infty }}{\overset{(x,y)}{\int }}\frac{dx}{y},$

где интегрирование производится по пути, лежащему на эллиптической кривой $F(E)$. Бесконечно удалённая точка на кривой $F(E)$ при этом выбрана как начало пути интегрирования, поскольку является F-образом точки $z=0$, а изменение выбора пути на другой приводит к изменению результата на элемент решётки периодов $\mathrm{\Gamma }$.

• Обратное отображение к функции Вейерштрасса задаётся как

${\mathrm{\wp }}_E^{-1}(x)=\underset{\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}\frac{dx}{\pm \sqrt{4x^3+g_2(E)x+g_3(E)}}.$

(выбор знака соответствует выбору одного из двух прообразов на эллиптической кривой, а изменение пути интегрирования приводит к сдвигу вычисленного прообраза на элемент $\mathrm{\Gamma }$).

• Решётка $\mathrm{\Gamma }$ восстанавливается как множество интегралов формы $\frac{dx}{y}$ по всевозможным замкнутым путям на эллиптической кривой $y^2=4x^3+g_2(E)x+g_3(E)$.

Сложение точек на эллиптической кривой

Эллиптическая кривая является (или, точнее, может быть сделана) абелевой группой по сложению. Для «алгебраического» представления $E=ℂ/\mathrm{\Gamma }$ это просто сложение точек $ℂ$. Для «геометрического» — как вложенной в $ℂP^2$ кривой $y^2=4x^3+px+q$ — это сложение задаётся выбором в качестве нуля бесконечно удалённой точки и правилом «три точки, лежащие на одной прямой, в сумме дают ноль».

Естественно ожидать, что построенное по функции Вейерштрасса отображение $F=(\mathrm{\wp }(z),{\mathrm{\wp }}^{\prime }(z))$ переводит заданное алгебраически сложение в заданное геометрически — что и имеет место. Этому (поскольку коллинеарность трёх точек задаётся обращением в ноль определителя) соответствует следующее соотношение:

$\det \left[\begin{array}{ccc}\mathrm{\wp }(u)& {\mathrm{\wp }}^{\prime }(u)& 1\\ \mathrm{\wp }(v)& {\mathrm{\wp }}^{\prime }(v)& 1\\ \mathrm{\wp }(w)& {\mathrm{\wp }}^{\prime }(w)& 1\end{array}\right]=0$

для любых $u+v+w=0$. Также, ввиду чётности $\mathrm{\wp }$ и нечётности ${\mathrm{\wp }}^{\prime }$, оно может быть записано как

$\det \left[\begin{array}{ccc}\mathrm{\wp }(z)& {\mathrm{\wp }}^{\prime }(z)& 1\\ \mathrm{\wp }(w)& {\mathrm{\wp }}^{\prime }(w)& 1\\ \mathrm{\wp }(z+w)& -{\mathrm{\wp }}^{\prime }(z+w)& 1\end{array}\right]=0$

Применение в голоморфной динамике

С помощью $\mathrm{\wp }$-функции Вейерштрасса строится пример Латтэ — пример рационального отображения сферы Римана в себя, множество Фату которого пусто (и, тем самым, динамика которого везде хаотична). А именно, взяв $\mathrm{\Gamma }=\mathbb{Z}[i]=\{a+bi\mid a,b\in \mathbb{Z}\}$, можно рассмотреть отображение $D$ удвоение на торе $E=ℂ/\mathrm{\Gamma }$:

$D(z)=2zmod\mathbb{Z}[i].$

Это отображение хаотично везде — сколь угодно маленькая окрестность через конечное число итераций покрывает весь тор.

С другой стороны — отображение $D$ корректно спускается на фактор $S^2=E/(z\sim -z)$. Поэтому отображение D отображением $\mathrm{\wp }$ полусопряжено некоторому рациональному отображению $R:ℂP^1\to ℂP^1$:

$\mathrm{\wp }\circ D=R\circ \mathrm{\wp }.$

Иными словами,

$R(z)=\mathrm{\wp }(2{\mathrm{\wp }}^{-1}(z)).$

Для такого отображения $R$ образы малых окрестностей также через конечное число итераций закрывают всю сферу Римана. Поэтому множество Жюлиа $J(R)=ℂP^1$, а множество Фату, соответственно, пусто.

Наконец, несложно видеть, что степень отображения $R$ равна четырём (поскольку отображение $z\mapsto 2z$ на торе имеет степень 4), и его коэффициенты $R$ можно найти явно, вычислив достаточное число коэффициентов ряда Тейлора $R$ в нуле через ряд Лорана для $\mathrm{\wp }$ (и, соответственно, для ${\mathrm{\wp }}^{-1}$).

Ссылки

• Шаблон:MathWorld

Литература

• J. Hubbard, I. Pourezza, The space of closed subgroups of ${ℝ}^2$, Topology 18 (1979), no. 2, p. 143—146.
• Лаврентьев М. А., Шабат Б. В., Методы теории функций комплексного переменного.
• A. F. Beardon, Iteration of Rational Functions: Complex Analytic Dynamical Systems, Springer-Verlag, Berlin, New York, Heidelberg, 2009, ISBN 0-387-95151-2