Ряды Эйзенштейна

Ряды Эйзенштейна, названные в честь немецкого математика Фердинанда Эйзенштейна — специальные простые примеры модулярных форм, задаваемые как сумма явно выписываемого ряда.

Определение

Ряд Эйзенштейна $G_{2k}$ веса $2k$ — функция, определённая на верхней полуплоскости $\{Im(\tau )>0\}\subset ℂ$ и заданная как сумма ряда

$G_{2k}(\tau )=\sum _{(m,n)\ne (0,0)}\frac{1}{(m+n\tau {)}^{2k}}.$

Этот ряд абсолютно сходится к голоморфной функции переменной $\tau$.

Свойства

Модулярность

Ряд Эйзенштейна задаёт модулярную форму веса $2k$: для любых целых $a,b,c,d\in \mathbb{Z}$ с $ad-bc=1$ имеем

$G_{2k}\left(\frac{a\tau +b}{c\tau +d}\right)=(c\tau +d{)}^{2k}{G}_{2k}(\tau ).$

Это следует из того, что ряд Эйзенштейна можно представить как функцию от порождённой 1 и τ решётки $\mathrm{\Gamma }=⟨1,\tau ⟩$, продолжив его на всё пространство решёток:

$G_{2k}(\mathrm{\Gamma })=\sum _{z\in \mathrm{\Gamma }\setminus \{0\}}{z}^{-2k}.$

Тогда $G_{2k}(\lambda \mathrm{\Gamma })={\lambda }^{-2k}{G}_{2k}(\mathrm{\Gamma }).$ Соотношение модулярности тогда соответствует переходу от базиса $\{\tau ,1\}$ к базису $\{a\tau +b,c\tau +d\}$ той же решётки (что не изменяет значения $G_{2k}(\mathrm{\Gamma })$) и нормированию второго элемента нового базиса на 1.

Представление модулярных форм

Более того, как оказывается, любая модулярная форма (произвольного веса $2m$) выражается как полином от $G_4$ и $G_6$:

$f=\sum _{4k+6l=2m}{a}_k{G}_4^k{G}_6^l.$

Связь с эллиптическими кривыми

$\mathrm{\wp }$-функция Вейерштрасса эллиптической кривой $E=ℂ/\mathrm{\Gamma }$ раскладывается в ряд Лорана в нуле как

${\mathrm{\wp }}_E(z)=\frac{1}{z^2}+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(2k+1)G_{2k+2}(\mathrm{\Gamma })z^{2k}.$

В частности, модулярные инварианты кривой E равны

$g_2=60G_4,g_3=140G_6.$

Литература

• А. Вейль, Эллиптические функции по Эйзенштейну и Кронекеру, (Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1976), пер.с англ. Ю. И. Манина, М.: «Мир», 1978:
• Серр Ж.-П., Курс арифметики. М.: Мир, 1972.
• Кубота Т. Элементарная теория рядов Эйзенштейна. - Шаблон:М., Наука, 1986. - 136 c.