Постоянная Гаусса (математика)

Постоя́нная Га́усса (обозначение — Шаблон:Math) — математическая константа, которая определяется как величина, обратная среднему арифметико-геометрическому от единицы и квадратного корня из 2:

$G=\frac{1}{\mathrm{agm}(1,\sqrt{2})}=0,8346268\dots .$(Шаблон:OEIS)

Константа названа в честь Карла Фридриха Гаусса, который в 1799 году обнаружил, что

$G=\frac{2}{\pi }\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}$

чтобы

$G=\frac{1}{2\pi }\mathrm{B}(\frac{1}{4},\frac{1}{2})$

где Β обозначает бета-функцию.

Связь с другими константами

Постоянная Гаусса может использоваться для выражения гамма-функции при аргументе $\frac{1}{4}$:

$\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{4}\right)=\sqrt{2G\sqrt{2{\pi }^3}}$

В качестве альтернативы,

$G=\frac{{\left[\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{4}\right)\right]}^2}{2\sqrt{2{\pi }^3}}$

а поскольку $\pi$ и $\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{4}\right)$ алгебраически независимы, постоянная Гаусса трансцендентна.

Константы лемнискаты

Константу Гаусса можно использовать при определении констант лемнискаты.

Гаусс и другие используют эквивалент

$\varpi =\pi G$

которая является константой лемнискаты, известной в теории лемнискатических функций.

Однако Джон Тодд использует другую терминологию — в своей статье числа $A$ и $B$ называются константами лемнискаты, первая из которых

$A=\frac{\pi G}{2}=\frac{\varpi }{2}=\frac{1}{4}\mathrm{B}(\frac{1}{4},\frac{1}{2})$

и вторая константа:

$B=\frac{1}{2G}=\frac{1}{4}\mathrm{B}(\frac{1}{2},\frac{3}{4}).$

Они возникают при нахождении длины дуги лемнискаты. $A$ и $B$ Теодор Шнайдер доказал их трансцендентность в 1937 и 1941 годах соответственно.

Другие формулы

Формула, выражающая Шаблон:Math через тета-функции Якоби, выглядит следующим образом:

$G={\vartheta }_{01}^2\left(e^{-\pi }\right)$

Также существуют представление в виде ряда с быстрой сходимостью, например следующий:

$G=\sqrt[4]{32}{e}^{-\frac{\pi }{3}}{(\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{e}^{-2n\pi (3n+1)})}^2.$

Константу также можно выразить бесконечным произведением

$G=\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{\tanh }^2\left(\frac{\pi m}{2}\right).$

Эта константа появляется при оценке интегралов

$\frac{1}{G}=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sqrt{\sin (x)}dx=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sqrt{\cos (x)}dx$

$G=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dx}{\sqrt{\cosh (\pi x)}}$

Представление константы в виде непрерывной дроби:

$G=[0,1,5,21,3,4,14,1,1,1,1,1,3,1,15,1,3,8,36,1,2,5,2,1,1,2,2,6,9,1,1,1,3,1,\dots ].$(Шаблон:OEIS)

Источники

• Шаблон:MathWorld