Среднее арифметико-геометрическое

Шаблон:Значения Среднее арифметико-геометрическое (арифметико-геометрическое среднее, АГС) — величина, определяющаяся для двух величин $a$ и $b$ как предел взаимозависимых последовательностей $\{a_N\}$, $\{b_N\}$, где:

$a_0=a{b}_0=b$

$a_1=\frac{a_0+b_0}{2}{b}_1=\sqrt{a_0{b}_0}$

$a_2=\frac{a_1+b_1}{2}{b}_2=\sqrt{a_1{b}_1}$

…

$a_N=\frac{a_{N-1}+b_{N-1}}{2}{b}_N=\sqrt{a_{N-1}{b}_{N-1}}$

имеют при $N\to \mathrm{\infty }$ один и тот же предел:

$\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_N=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_N=M(a,b)$.

АГС может быть применено для быстрого вычисления точного периода математического маятника.

Часто используется сокращение $M(x)=M(x,1)$. В частности $M(x,y)=yM(x/y,1)=yM(x/y)$.

Шаблон:ЯкорьМодифицированное арифметико-геометрическое среднее (МАГС) двух величин $x$ и $y$ — (общий) предел (убывающей) последовательности $\{x_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ и (возрастающей) последовательности $\{y_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$, где $x_0=x$, $y_0=y$ и $z_0=0$.

$x_{n+1}=\frac{x_n+y_n}{2}$

$y_{n+1}=z_n+\sqrt{(x_n-z_n)(y_n-z_n)}$

$z_{n+1}=z_n-\sqrt{(x_n-z_n)(y_n-z_n)}$

МАГС может быть применено для быстрого вычисления длины нити в линейном параллельном поле сил отталкивания.

МАГС выразимо посредством АГСШаблон:Как, такое опосредованное вычисление МАГС предпочтительно при вычислении длины периметра эллипса $L$ с полуосями $a$ и $b$:

$L=\frac{2\pi N(a^2;b^2)}{M(a;b)},$

где $M(x;y)$ — АГС чисел $x$ и $y$, а $N(x;y)$ — МАГС чисел $x$ и $y$. Тем самым, такая формула выражает метод Гаусса, с квадратичной сходимостью, для вычисления полного эллиптического интеграла второго рода.

Приложения

С использованием АГС и МАГС можно вычислять значения некоторых трансцендентных функций и числа $\pi$. Например, по формуле Гаусса — Саламина:

$\pi =\frac{2M{(1;\sqrt{2})}^2}{1-\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{2}^j{c}_j^2},$

где $c_j=\frac{1}{2}(a_{j-1}-b_{j-1})$, $a_0=1$, $b_0=\sqrt{2}$.

В то же время, если взять:

$a_0=1,b_0=\cos \alpha$,

то

$\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_N=\frac{\pi }{2K(\sin \alpha )}$,

где $K(\alpha )$ есть полный эллиптический интеграл

$K(\alpha )=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}(1-{\alpha }^2{\sin }^2\theta {)}^{-\frac{1}{2}}d\theta$.

То есть $\pi$ выражается формулой:

$\pi =\frac{M(\sqrt{2}{)}^2}{N(2)-1}$,

где $M(x)$ — АГС 1 и $x$, а $N(x)$ — МАГС 1 и $x$.

Пользуясь этим свойством, а также преобразованиями Ландена, Брент предложил первые АГС-алгоритмы для быстрого вычисления простейших трансцендентных функций ($e^x,\cos x,\sin x$). В дальнейшем исследование и использование АГС-алгоритмов было продолжено многими авторами.