Математический маятник

Математический маятник. Чёрный пунктир — положение равновесия, $\theta$ — угол отклонения от вертикали в некоторый момент

Математи́ческий ма́ятник — осциллятор, представляющий собой механическую систему, состоящую из материальной точки на конце невесомой нерастяжимой нити или лёгкого стержня и находящуюся в однородном поле сил тяготения. Другой конец нити (стержня) обычно неподвижен. Период малых собственных колебаний маятника длины $L$, подвешенного в поле тяжести, равен

$T_0=2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$

и не зависит, в первом приближении, от амплитуды колебаний и массы маятника. Здесь $g$ — ускорение свободного падения.

Математический маятник служит простейшей моделью физического тела, совершающего колебания: она не учитывает распределение массы. Однако реальный физический маятник при малых амплитудах колеблется так же, как математический с приведённой длиной.

Характер движения маятника

Математический маятник со стержнем способен колебаться только в какой-то одной плоскости (вдоль какого-то выделенного горизонтального направления) и, следовательно, является системой с одной степенью свободы. Если же стержень заменить на нерастяжимую нить, получится система с двумя степенями свободы (так как становятся возможными колебания по двум горизонтальным координатам).

При колебаниях в одной плоскости маятник движется по дуге окружности радиуса $L$, а при наличии двух степеней свободы может описывать кривые на сфере того же радиуса. Нередко, в том числе в случае нити, ограничиваются анализом плоского движения; оно и рассматривается далее.

Уравнение колебаний маятника

Маятник (схема с обозначениями)

Если в записи второго закона Ньютона $m\overrightarrow{a}=\overrightarrow{F}$ для математического маятника выделить тангенциальную составляющую ($m{a}_{\tau }=F_{\tau }$), получится выражение

$mL\ddot{\theta }=-mg\sin \theta$,

так как $a_{\tau }=\dot{v}=d/dt(Ld\theta /dt)$, а из действующих на точку сил тяжести и натяжения ненулевую компоненту $F_{\tau }$ даёт только первая. Следовательно, колебания маятника описываются обыкновенным дифференциальным уравнением (ДУ) вида

$\ddot{\theta }+\frac{g}{L}\sin \theta =0$,

где неизвестная функция $\theta (t)$ ― это угол отклонения маятника в момент $t$ от нижнего положения равновесия, выраженный в радианах, $L$ ― длина подвеса, $g$ ― ускорение свободного падения. Предполагается, что потерь энергии в системе нет. В области малых углов $\sin \theta \approx \theta$ это уравнение превращается в

$\ddot{\theta }+\frac{g}{L}\theta =0$.

Для решения ДУ второго порядка, то есть для определения закона движения маятника, необходимо задать два начальных условия — угол $\theta$ и его производную $\dot{\theta }$ при $t=0$.

Решения уравнения движения

Возможные типы решений

В общем случае решение ДУ с начальными условиями для маятника может быть получено численно. Варианты движения (в случае, если маятник — это материальная точка на лёгком стержне), качественно, представлены на анимации. В каждом окне вверху показана зависимость угловой скорости $\dot{\theta }$ от угла $\theta$. По мере нарастания размаха поведение маятника всё сильнее отклоняется от режима гармонических колебаний.

• 
  Маятник висит
• 
  Малые колебания (размах 45°)
• 
  Колебания с размахом 90°
• 
  Колебания с размахом 135°
• 
  Колебания с размахом 170°
• 
  Фиксация в верхнем положении
• 
  Движение близкое к сепаратрисе
• 
  Вращение маятника

Гармонические колебания

Уравнение малых колебаний маятника около нижнего положения равновесия, когда уместна замена $\sin \theta \approx \theta$, называется гармоническим уравнением:

$\ddot{\theta }+{\omega }_0^2\theta =0$,

где ${\omega }_0=\sqrt{g/L}$ ― положительная константа, определяемая только из параметров маятника и имеющая смысл собственной частоты колебаний. Кроме того, может быть осуществлён переход к переменной «горизонтальная координата» $x=L\sin \theta \approx L\theta$ (ось $x$ лежит в плоскости качания и ортогональна нити в нижней точке):

$\ddot{x}+{\omega }_0^{2}x=0$.

Малые колебания маятника являются гармоническими. Это означает, что смещение маятника от положения равновесия изменяется во времени по синусоидальному закону:

$x=A\sin ({\omega }_{0}t+\alpha )$,

где $A$ — амплитуда колебаний маятника, $\alpha$ — начальная фаза колебаний.

Если пользоваться переменной $x$, то при $t=0$ необходимо задать координату $x_0$ и скорость $v_{x0}$, что позволит найти две независимые константы $A$, $\alpha$ из соотношений $x_0=A\sin \alpha$ и $v_{x0}=A{\omega }_0\cos \alpha$.

Случай нелинейных колебаний

Вновь запишем полученное нами ДУ.

$\ddot{\theta }+\frac{g}{L}\sin \theta =0$,

Выполним интегрирование обеих частей уравнения по $\theta$:

$\int \ddot{\theta }d\theta +\int \frac{g}{L}\sin \theta d\theta =\int 0d\theta$,

Легко видеть, что

$\int \ddot{\theta }d\theta =\int \dot{\theta }d\dot{\theta }=\frac{{\dot{\theta }}^2}{2}$,

Тогда

$\frac{{\dot{\theta }}^2}{2}-\frac{g}{L}\cos \theta =const$,

Получившаяся постоянная интегрирования, как легко видеть, равна$\epsilon =\frac{E}{m{L}^2}$, где E - энергия математического маятника. Теперь подставим ${\omega }_0=\sqrt{g/L}$:

$\frac{{\dot{\theta }}^2}{2}-{\omega }_0^2\cos \theta =\epsilon$,

Прибавим к обеим частям ${\omega }_0^2$:

$\frac{{\dot{\theta }}^2}{2}+{\omega }_0^2(1-\cos \theta )=\epsilon +{\omega }_0^2$,

$1-\cos \theta =2{\sin }^2\frac{\theta }{2}$,

$\frac{{\dot{\theta }}^2}{2}+2{\omega }_0^2{\sin }^2\frac{\theta }{2}=\epsilon +{\omega }_0^2$,

Как легко видеть, в этом уравнении можно разделить переменные. Для этого заметим, что

$\frac{d\theta }{dt}=\sqrt{2\epsilon +2{\omega }_0^2-4{\omega }_0^2{\sin }^2\frac{\theta }{2}}$,

Теперь разделяем переменные

$\int \frac{d\frac{\theta }{2}}{\sqrt{\frac{\epsilon +{\omega }_0^2}{2}-{\omega }_0^2{\sin }^2\frac{\theta }{2}}}=t+const$,

Умножим обе части уравнения на ${\omega }_0$:

$\int \frac{d\frac{\theta }{2}}{\sqrt{\frac{\epsilon +{\omega }_0^2}{2{\omega }_0^2}-{\sin }^2\frac{\theta }{2}}}={\omega }_{0}t+const$,

Обозначим ${\varkappa }^2=\frac{\epsilon +{\omega }_0^2}{2{\omega }_0^2}$, физический смысл этого коэффициента - максимальный синус угла отклонения маятника:

$\int \frac{d\frac{\theta }{2}}{\sqrt{{\varkappa }^2-{\sin }^2\frac{\theta }{2}}}={\omega }_{0}t+const$,

$\int \frac{d\frac{\theta }{2}}{\varkappa \sqrt{1-\frac{{\sin }^2\frac{\theta }{2}}{{\varkappa }^2}}}={\omega }_{0}t+const$,

Выполним замену переменных

$\sin \phi =\frac{\sin \frac{\theta }{2}}{\varkappa }$,

$\int \frac{\varkappa \cos \phi d\phi }{\varkappa \sqrt{1-{\sin }^2\phi }\sqrt{1-{\varkappa }^2{\sin }^2\phi }}={\omega }_{0}t+const$,

Отсюда

$\int \frac{d\phi }{\sqrt{1-{\varkappa }^2{\sin }^2\phi }}={\omega }_{0}t+const$,

Учитывая произвольность константы, можно утверждать, что

$\sin \phi =\mathrm{sn}({\omega }_{0}t+const;\varkappa ),$

где $\mathrm{sn}$ — это синус Якоби. Для $\varkappa <1$ он является периодической функцией, при малых $\varkappa$ совпадает с обычным тригонометрическим синусом. Выполняя обратную замену и полагая константу равной нулю(чего всегда можно добиться правильным выбором начала отсчёта времени), получим закон движения для больших амплитуд

$\sin \frac{\theta }{2}=\varkappa \cdot \mathrm{sn}({\omega }_{0}t;\varkappa ),$

Период колебаний нелинейного маятника составляет

$T=\frac{2\pi }{\mathrm{\Omega }},\mathrm{\Omega }=\frac{\pi }{2}\frac{{\omega }_0}{K(\varkappa )}$,

где K — эллиптический интеграл первого рода.

Для вычислений практически удобно разлагать эллиптический интеграл в ряд:

$T=T_0\{1+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2{\sin }^2\left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)+{\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)}^2{\sin }^4\left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)+\dots +{\left[\frac{(2n-1)!!}{\left(2n\right)!!}\right]}^2{\sin }^{2n}\left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)+\dots \}$

где $T_0=2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ — период малых колебаний, ${\theta }_0$ — максимальный угол отклонения маятника от вертикали.

При углах до 1 радиана (≈ 60°) с приемлемой точностью (ошибка менее 1 %) можно ограничиться первым приближением:

$T=T_0(1+\frac{1}{4}{\sin }^2\left(\frac{{\theta }_0}{2}\right))$.

Точная формула периода, с квадратичной сходимостью для любого угла максимального отклонения, обсуждается на страницах сентябрьского выпуска журнала «Заметки американского математического общества» 2012 года:

$T=\frac{2\pi }{M(\cos ({\theta }_0/2))}\sqrt{\frac{L}{g}}$,

где $M(s)$ — арифметико-геометрическое среднее чисел 1 и $s$ (здесь $s=\cos ({\theta }_0/2)$).

Движение по сепаратрисе

Движение маятника по сепаратрисе является непериодическим. В бесконечно далёкий момент времени он начинает падать из крайнего верхнего положения в какую-то сторону с нулевой скоростью, постепенно набирает её, а затем останавливается, возвратившись в исходное положение.

Факты

Несмотря на свою простоту, математический маятник связан с рядом интересных явлений.

• Если амплитуда колебания маятника близка к $\pi$, то есть движение маятника на фазовой плоскости близко к сепаратрисе, то под действием малой периодической вынуждающей силы система демонстрирует хаотическое поведение. Это одна из простейших механических систем, в которой хаос возникает под действием периодического возмущения.
• Если точка подвеса не неподвижна, а совершает колебания, то у маятника может появиться новое положение равновесия. Если точка подвеса достаточно быстро колеблется вверх-вниз, то маятник приобретает устойчивое положение «вверх тормашками». Такая система называется маятником Капицы.
• В условиях вращения Земли при достаточно длинной нити подвеса плоскость, в которой маятник совершает колебания, будет медленно поворачиваться относительно земной поверхности в сторону, противоположную направлению вращения Земли (маятник Фуко).

См. также

• Физический маятник
• Маятник Фуко
• Маятник Дубошинского

Ссылки

• Коллекция Java-апплетов, моделирующая поведение математических маятников, в частности маятника Капицы.
• Java-апплет, моделирующий колебание математического маятника при наличии вязкого трения с черчением фазовой траектории.
• Учебный фильм «Математический и физический маятник», производство СССР