Сепаратриса

Сепаратри́са — линия на фазовой плоскости, разделяющая области с разным характером решений дифференциального уравнения. Сепаратрисы начинаются и заканчиваются в седловых стационарных точках, либо на бесконечности. Сепаратриса может разделять области, например, колебательного и вращательного движения, либо отделять область регулярного движения от хаотического.

Фазовая плоскость маятника.

Пример: математический маятник

Простым примером фазового пространства с сепаратрисой является математический маятник. Его движение описывается следующим уравнением:

$\frac{d^2\theta }{d{t}^2}+\frac{g}{\ell }\sin \theta =0$,

где $\ell$ — длина маятника, $g$ — ускорение свободного падения, $\theta$ угол отклонения от вертикали. В такой системе, вследствие сохранения энергии, гамильтониан является интегралом движения:

$H=\frac{{\dot{\theta }}^2}{2}-\frac{g}{\ell }\cos \theta =inv$.

Фазовые траектории зависят от значения H. При $H<-\frac{g}{\ell }$ решений нет, поскольку угол $\theta$ и его производная $\dot{\theta }$ должны быть вещественными. При $-\frac{g}{\ell }<H<\frac{g}{\ell }$ фазовые траектории имеют замкнутый вид, что соответствует финитному колебательному движению маятника. Наконец, при $H>\frac{g}{\ell }$ фазовые тракетории незамкнуты, маятник совершает вращательное движение. Между двумя областями с разным характером движения имеется сепаратриса, соответствующая $H=\frac{g}{\ell }$. Внутри сепаратрисы движение колебательное, и период растёт с ростом значения H (т.е. с амплитудой). Движение по сепаратрисе происходит за бесконечное время, маятник замедляется при приближении к седловой точке.

См. также

• Фазовая плоскость
• Нелинейная динамика