Затухающие колебания

Затухающие колебания пружинного маятника

Затухающие колебания — колебания, энергия которых уменьшается с течением времени. Бесконечно длящийся процесс вида $u(t)=A\cos (\omega t+q)$ в природе невозможен. Свободные колебания любого осциллятора рано или поздно затухают и прекращаются. Поэтому на практике обычно имеют дело с затухающими колебаниями. Они характеризуются тем, что амплитуда колебаний A является убывающей функцией. Обычно затухание происходит под действием сил сопротивления среды, наиболее часто выражаемых линейной зависимостью от скорости колебаний $u{\text{'}}_t$ или её квадрата.

В акустике: затухание — уменьшение уровня сигнала до полной неслышимости.

Пример — затухающие колебания пружинного маятника

Модель пружинного маятника. B — демпфер. F — внешняя сила (в примере не присутствует).

Пусть имеется система, состоящая из пружины (подчиняющейся закону Гука), один конец которой жёстко закреплён, а на другом находится тело массой m. Колебания совершаются в среде, где сила сопротивления пропорциональна скорости с коэффициентом c (см. вязкое трение).

Тогда второй закон Ньютона для рассматриваемой системы запишется как

$m\overrightarrow{a}={\overrightarrow{F}}_c+{\overrightarrow{F}}_y,$

где $F_c=-cv$ — сила сопротивления, а $F_y=-kx$ — сила упругости. Получается

$ma+cv+kx=0,$

или в дифференциальной форме

$\ddot{x}+\frac{c}{m}\dot{x}+\frac{k}{m}x=0,$

где $k$ — коэффициент упругости в законе Гука, $c$ — коэффициент сопротивления, устанавливающий соотношение между скоростью движения грузика и возникающей при этом силой сопротивления.

Для упрощения вводятся следующие обозначения:

${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}},\zeta =\frac{c}{2\sqrt{km}}.$

Величину ${\omega }_0$ называют собственной частотой системы, $\zeta$ — коэффициентом затухания. С такими обозначениями дифференциальное уравнение принимает вид

$\ddot{x}+2\zeta {\omega }_0\dot{x}+{\omega }_0^{2}x=0.$

Уравнение затухающих колебаний. Возможные решения

Последнее уравнение предыдущего раздела является общим уравнением затухающих колебаний величины $x$ (которая, вообще говоря, не обязательно должна быть координатой). Если абстрагироваться от того, как были получены параметры ${\omega }_0$ и $\zeta$ в конкретном примере, такое уравнение применимо для описания широкого класса систем с затуханием.

Сделав замену $x=e^{\lambda t}$, получают характеристическое уравнение

${\lambda }^2+2\zeta {\omega }_0\lambda +{\omega }_0^2=0,$

корни которого вычисляются по формуле

${\lambda }_{\pm }={\omega }_0(-\zeta \pm \sqrt{{\zeta }^2-1}).$

Зависимость графиков колебаний от значения $\zeta$.

В зависимости от величины коэффициента затухания решение разделяется на три возможных варианта.

• Апериодичность

Если $\zeta >1$, то имеется два действительных корня, и решение дифференциального уравнения принимает вид:

$x(t)=c_1{e}^{{\lambda }_{-}t}+c_2{e}^{{\lambda }_{+}t}$

В этом случае колебания с самого начала экспоненциально затухают.

• Граница апериодичности

Если $\zeta =1$, два действительных корня совпадают $\lambda =-{\omega }_0$, и решением уравнения является:

$x(t)=(c_{1}t+c_2)e^{-{\omega }_{o}t}$

В данном случае может иметь место вре́менный рост, но потом — экспоненциальное затухание.

• Слабое затухание

Если $\zeta <1$, то решением характеристического уравнения являются два комплексно сопряжённых корня

${\lambda }_{\pm }=-{\omega }_0\zeta \pm i{\omega }_0\sqrt{1-{\zeta }^2}$

Тогда решением исходного дифференциального уравнения является

$x(t)=e^{-\zeta {\omega }_{0}t}(c_1\cos ({\omega }_{\mathrm{d}}t)+c_2\sin ({\omega }_{\mathrm{d}}t)),$

где ${\omega }_d={\omega }_0\sqrt{1-{\zeta }^2}$ — собственная частота затухающих колебаний.

Константы $c_1$ и $c_2$ в каждом из случаев определяются из начальных условий: $\{\begin{array}{ccc}x(0)& =& a\\ \dot{x}(0)& =& b\end{array}$

См. также

• Сейсмоосциллятор
• Логарифмический декремент колебаний

Литература

Лит.: Савельев И. В., Курс общей физики:Механика, 2001. Шаблон:Нет ссылок