Закон Гука

Шаблон:Механика сплошных сред Файл:Закон Гука.webm Зако́н Гу́ка — утверждение, согласно которому деформация, возникающая в упругом теле (пружине, стержне, консоли, балке и т. д.), прямо пропорциональна силе упругости, возникающей в этом теле. Открыт в 1660 году английским учёным Робертом Гуком. Закон справедлив для упругих деформаций, то есть деформаций, устраняющихся при снятии внешней силы, вызвавшей деформации.

Закон Гука выполняется только при малых упругих деформациях, и не справедлив при пластических деформациях (не устраняющихся при снятии внешней силы, вызвавшей деформации). При превышении предела пропорциональности связь между силой и деформацией становится нелинейной. Для многих сред закон Гука неприменим даже при малых деформациях.

Закон Гука для тонкого стержня

Для тонкого растяжимого стержня закон Гука имеет вид:

$F=k\mathrm{\Delta }l.$

Здесь $F$ — сила, которой растягивают (сжимают) стержень, $\mathrm{\Delta }l$ — абсолютное удлинение (сжатие) стержня, а $k$ — коэффициент упругости (или жёсткости).

Коэффициент упругости зависит как от свойств материала, так и от размеров стержня. Можно выделить зависимость от размеров стержня (площади поперечного сечения $S$ и длины $L$) явно, записав коэффициент упругости как

$k=\frac{ES}{L}.$

Величина $E$ называется модулем упругости первого рода, или модулем Юнга и является механической характеристикой материала.

Если ввести относительное удлинение

$\epsilon =\frac{\mathrm{\Delta }l}{L}$

и нормальное напряжение в поперечном сечении

$\sigma =\frac{F}{S},$

то закон Гука для относительных величин запишется как

$\sigma =E\epsilon .$

В такой форме он справедлив для любых малых объёмов материала.

Также при расчёте прямых стержней применяют запись закона Гука в относительной форме

$\mathrm{\Delta }l=\frac{FL}{ES}.$

Закон Гука и измерение силы

Закон Гука лежит в основе измерения сил пружинным механическим динамометром. В этом приборе измеряемая сила передаётся пружине, которая в зависимости от направления силы сжимается или растягивается. Величина упругой деформации пружины пропорциональна силе воздействия и регистрируется.

Принципиальная возможность измерения обеспечивается уже свойством упругости, но без закона Гука упомянутая пропорциональность отсутствовала бы и градуировочная шкала стала бы неравномерной, что неудобно.

Обобщённый закон Гука

В общем случае напряжения и деформации описываются тензорами второго ранга в трёхмерном пространстве (имеют по 9 компонентов). Связывающий их тензор упругих постоянных является тензором четвёртого ранга $C_{ijkl}$ и содержит 81 коэффициент. Вследствие симметрии тензора $C_{ijkl}$, а также тензоров напряжений и деформаций, независимыми являются только 21 постоянная. Закон Гука выглядит следующим образом:

${\sigma }_{ij}=\sum _{kl}{C}_{ijkl}\cdot {\epsilon }_{kl},$

где ${\sigma }_{ij}$ — тензор напряжений, ${\epsilon }_{kl},$ — тензор деформаций. Для изотропного материала тензор $C_{ijkl}$ содержит только два независимых коэффициента.

Благодаря симметрии тензоров напряжения и деформации, закон Гука может быть представлен в матричной форме.

Для линейно упругого изотропного тела:

${\epsilon }_x=\frac{{\sigma }_x}{E}-\frac{\mu }{E}{\sigma }_y-\frac{\mu }{E}{\sigma }_z$

${\epsilon }_z=\frac{{\sigma }_z}{E}-\frac{\mu }{E}{\sigma }_x-\frac{\mu }{E}{\sigma }_y$де:

• $E$ — модуль Юнга;
• $\mu$ — коэффициент Пуассона;
• $G=\frac{E}{2(1+\mu )}$ — модуль сдвига.

См. также

• Модуль Юнга