Нотация Фойгта

Нотация Фойгта — матричная форма записи симметричного тензора 4-го ранга. Впервые была предложена немецким физиком Вольдемаром Фойгтом для тензора упругости в формулировке закона Гука для анизотропных материалов.

Обозначения

Если тензор 4-ранга $c_{ijkl}$ обладает симметрией по первой и второй паре индексов:

$c_{ijkl}=c_{jikl}$,

$c_{ijkl}=c_{ijlk}$,

то его элементы могут быть записаны в виде матрицы 6x6, используя следующую подстановку индексов:

$11\to 1$

$22\to 2$

$33\to 3$

$23,32\to 4$

$13,31\to 5$

$12,21\to 6$.

Например, компонента $c_{3122}$ будет соответствовать элементу матрицы $C_{52}$.

Используя те же подстановки индексов, можно записывать симметричные тензоры 2 ранга в виде 6 векторов. При таком представлении результат умножения тензоров, вообще говоря, не соответствуют результату перемножения матриц. Для того, чтобы операция тензорного умножения могла быть записана в виде умножения матриц, может потребоваться введение дополнительных множителей.

Матричная запись закона Гука

Шаблон:Main Закон Гука в тензорном виде имеет вид (здесь и далее используется соглашение Эйнштейна о суммировании по повторяющимся индексам):

${\sigma }_{ij}=c_{ijkl}{\epsilon }_{kl}$,

где ${\sigma }_{ij}$ и ${\epsilon }_{kl}$ — тензоры напряжения и деформации. Так как эти тензоры являются симметричными, то тензор модулей упругости $c_{ijkl}$ обладает необходимой степенью симметрии для того, чтобы его возможно было записать в матричном виде. Более того, из соотношения:

$c_{ijkl}=\frac{{\partial }^{2}F}{\partial {\epsilon }_{ij}\partial {\epsilon }_{kl}}$,

где $F$ — свободная энергияШаблон:Уточнить в случае изотермической деформации, или внутренняя энергия при адиабатической деформации, следует $c_{ijkl}=c_{klij}$. Отсюда следует, что существует только 21 линейно независимая компонента тензора упругих постоянных. Поэтому матрица $C_{\alpha \beta }$, составленная из компонент $c_{ijkl}$, будет симметричной. Закон Гука может быть записан в следующем виде:

${\sigma }_{\alpha }=C_{\alpha \beta }{ϵ}_{\beta }$,

где индексы $\alpha ,\beta$ пробегают значения от 1 до 6, или:

$\left(\begin{array}{c}{\sigma }_{11}\\ {\sigma }_{22}\\ {\sigma }_{33}\\ {\sigma }_{23}\\ {\sigma }_{13}\\ {\sigma }_{12}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}{c}_{1111}& c_{1122}& c_{1133}& c_{1123}& c_{1113}& c_{1112}\\ \cdot & c_{2222}& c_{2233}& c_{2223}& c_{2213}& c_{2212}\\ \cdot & \cdot & c_{3333}& c_{3323}& c_{3313}& c_{3312}\\ \cdot & \cdot & \cdot & c_{2323}& c_{2313}& c_{2312}\\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & c_{1313}& c_{1312}\\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & c_{1212}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\epsilon }_{11}\\ {\epsilon }_{22}\\ {\epsilon }_{33}\\ 2{\epsilon }_{23}\\ 2{\epsilon }_{13}\\ 2{\epsilon }_{12}\end{array}\right)$

В данной записи коэффициент 2 при компонентах тензора деформации ${\epsilon }_{23}$, ${\epsilon }_{13}$, ${\epsilon }_{12}$ необходим для того, чтобы матричные уравнения в точности соответствовали тензорным. Например, в законе Гука в уравнение для компоненты ${\sigma }_{11}$ входит слагаемое $c_{1123}{\epsilon }_{23}+c_{1132}{\epsilon }_{32}$, которое в матричной записи соответствует слагаемому $c_{1123}2{\epsilon }_{23}$.

Закон Гука может быть записан в эквивалентной тензорной форме, через тензор модулей податливости $s_{ijkl}$:

${\epsilon }_{ij}=s_{ijkl}{\sigma }_{kl}$

Тензор $s_{ijkl}$ характеризуется той же степенью симметрии, что и $c_{ijkl}$. Поэтому его компоненты тоже можно записать в виде матрицы 6x6 элементов. Однако данная матрица не будет обратной к матрице $C_{\alpha \beta }$.

Обратное матричное уравнение ${ϵ}_{\alpha }=S_{\alpha \beta }{\sigma }_{\beta }$, где $S=C^{-1}$, выглядит следующим образом:

$\left(\begin{array}{c}{\epsilon }_{11}\\ {\epsilon }_{22}\\ {\epsilon }_{33}\\ 2{\epsilon }_{23}\\ 2{\epsilon }_{13}\\ 2{\epsilon }_{12}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}{s}_{1111}& s_{1122}& s_{1133}& 2s_{1123}& 2s_{1113}& 2s_{1112}\\ \cdot & s_{2222}& s_{2233}& 2s_{2223}& 2s_{2213}& 2s_{2212}\\ \cdot & \cdot & s_{3333}& 2s_{3323}& 2s_{3313}& 2s_{3312}\\ \cdot & \cdot & \cdot & 4s_{2323}& 4s_{2313}& 4s_{2312}\\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & 4s_{1313}& 4s_{1312}\\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & 4s_{1212}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\sigma }_{11}\\ {\sigma }_{22}\\ {\sigma }_{33}\\ {\sigma }_{23}\\ {\sigma }_{13}\\ {\sigma }_{12}\end{array}\right)$

Преобразование поворота

При переходе от декартовой системы координат $x_1,x_2,x_3$ к декартовой системе координат $x_1^{\prime },x_2^{\prime },x_3^{\prime }$ путём поворота, компоненты тензора упругих постоянных преобразуются по следующей формуле в соответствии с преобразованием тензора четвёртого ранга:

$C{\text{'}}_{ijkl}=n_{i\alpha }{n}_{j\beta }{n}_{k\gamma }{n}_{l\delta }{C}_{\alpha \beta \gamma \delta }$

Примеры

Тензор упругости изотропного материала: упругие свойства определяются 2 постоянными (в данном примере — постоянными Ламэ $\lambda$ и $\mu$):

$\left(\begin{array}{cccccc}\lambda +2\mu & \lambda & \lambda & 0& 0& 0\\ \lambda & \lambda +2\mu & \lambda & 0& 0& 0\\ \lambda & \lambda & \lambda +2\mu & 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& \mu & 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& \mu & 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& \mu \end{array}\right)$

Тензор упругости материала с гексагональной симметрией: тело, обладающее гексагональной симметрией, характеризуется наличием оси симметрии (в данном случае $x_3$), при повороте вокруг которой свойства не меняются; описывается 5 независимыми упругими постоянными:

$\left(\begin{array}{cccccc}{c}_{1111}& c_{1122}& c_{1133}& 0& 0& 0\\ c_{1122}& c_{1111}& c_{1133}& 0& 0& 0\\ c_{1133}& c_{1133}& c_{3333}& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& c_{2323}& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& c_{2323}& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& \frac{1}{2}(c_{1111}-c_{1122})\end{array}\right)$.

Единичной матрице соответствует единичный «симметризующий» тензор $I$:

$I_{ijkl}=\frac{1}{2}({\delta }_{ik}{\delta }_{jl}+{\delta }_{il}{\delta }_{jk})$

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга