Логарифмический декремент колебаний

Логарифм отношения амплитуд в точках, ограниченных периодом Шаблон:Math, равен логарифмическому декременту колебаний λ

Логарифми́ческий декреме́нт колеба́ний (декреме́нт затуха́ния; от Шаблон:Lang-la — «уменьшение, убыль») — безразмерная физическая величина, описывающая уменьшение амплитуды колебательного процесса и равная натуральному логарифму отношения двух последовательных амплитуд колеблющейся величины Шаблон:Math в одну и ту же сторону:

$\lambda =\ln \frac{x_0}{x_1}.$

Логарифмический декремент колебаний равен коэффициенту затухания Шаблон:Math, умноженному на период колебаний Шаблон:Math:

$\lambda =\beta T.$

Этот параметр применяется, как правило, для линейных колебательных систем, поскольку в нелинейных системах период колебания, вообще говоря, зависит от амплитуды, а закон убывания амплитуды отличается от экспоненциального. В линейных системах колеблющаяся величина изменяется со временем как

$x(t)=A{e}^{-\beta t}\cos \omega t,$

где Шаблон:Math — начальная амплитуда, Шаблон:Math — время, Шаблон:Math — циклическая частота колебания.

Обозначив Шаблон:Math, получаем отсюда, что отношение величин Шаблон:Math и Шаблон:Math равно

$X_k/X_{k+1}=\frac{e^{-\beta kT}}{e^{-(k+1)\beta T}}\cdot \frac{\cos (2\pi k)}{\cos (2\pi (k+1))}=e^{\beta T}.$

Логарифмический декремент равен показателю этой экспоненты:

$\lambda =\ln (X_k/X_{k+1})=\ln e^{\beta T}=\beta T.$

Если энергия колебательной системы пропорциональна Шаблон:Math, то её добротность (относительная потеря энергии за время нарастания фазы на 1 радиан) равна

$Q=\frac{2\pi }{1-e^{-2\lambda }},$

а логарифмический декремент выражается через добротность как

$\lambda =-\frac{1}{2}\ln (1-\frac{2\pi }{Q}).$

Для систем с высокой добротностью (т. е. со слабым затуханием) $\lambda \ll 1,$ поэтому можно, разложив $e^{-\lambda }$ в ряд Маклорена по Шаблон:Math, ограничиться первыми двумя членами и заменить в этих формулах $e^{-\lambda }$ на $1-\lambda ,$ что приводит к

$Q\approx \frac{\pi }{\lambda },\lambda \approx \frac{\pi }{Q}.$

Ссылки

• Шаблон:Книга:Физическая энциклопедия