Физический маятник

Шаблон:Другие значения Физи́ческий ма́ятник — осциллятор, представляющий собой твёрдое тело, совершающее колебания в поле каких-либо сил относительно точки, не являющейся центром масс этого тела, или неподвижной оси, перпендикулярной направлению действия сил и не проходящей через центр масс этого тела.

Дифференциальное уравнение движения физического маятника

Физический маятник.
$O$ — ось подвеса;
$N$ — реакция оси подвеса;
$G$ — центр тяжести;
$O^{\prime }$ — центр качания;
$\lambda$ — приведённая длина;
$\theta$ — угол отклонения маятника от равновесия;
$\alpha$ — начальный угол отклонения маятника;
$m$ — масса маятника;
$h$ — расстояние от точки подвеса до центра тяжести маятника;
$g$ — ускорение свободного падения.

Момент инерции относительно оси, проходящей через точку подвеса, по теореме Штейнера:

$I=I_0+m{h}^2=m(r^2+h^2)$,

где $I_0$ — момент инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести; $r$ — эффективный радиус инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести.

Динамическое уравнение произвольного вращения твёрдого тела:

$I\frac{d^2\theta }{d{t}^2}=-M_s$,

где $M_s$ — суммарный момент сил, действующих на тело относительно оси вращения.

$M_s=M+M_f$,

где $M$ — момент сил, вызванный силой тяжести; $M_f$ — момент сил, вызванный силами трения среды.

Момент, вызванный силой тяжести, зависит от угла отклонения тела от положения равновесия:

$M=mgh\sin \theta$.

Если пренебречь сопротивлением среды, дифференциальное уравнение колебаний физического маятника в поле силы тяжести:

$I\frac{d^2\theta }{d{t}^2}=-mgh\sin \theta$.

Если разделить обе части уравнения на $h$ и положить

$\lambda =\frac{r^2+h^2}{h}=\frac{r^2}{h}+h$,

получим:

$\lambda \frac{d^2\theta }{d{t}^2}=-g\sin \theta$.

Такое уравнение аналогично уравнению колебаний математического маятника длиной $\lambda$. Величина $\lambda$ называется приведённой длиной физического маятника.

Центр качания физического маятника. Теорема Гюйгенса

Центр качания — точка, в которой надо сосредоточить всю массу физического маятника, чтобы его период колебаний не изменился.

Поместим на луче, проходящем от точки подвеса через центр тяжести, точку на расстоянии $\lambda$ от точки подвеса. Эта точка и будет центром качания маятника.

Действительно, если всю массу сосредоточить в центре качания, то центр качания будет совпадать с центром тяжести. Тогда момент инерции относительно оси подвеса будет равен $I=m{\lambda }^2$, а момент силы тяжести относительно той же оси $-mg\lambda \sin \theta$. При этом уравнение движения не изменится.

Согласно теореме Гюйгенса,

Если физический маятник подвесить за центр качания, то его период колебаний не изменится, а прежняя точка подвеса сделается новым центром качания.

Вычислим приведённую длину для нового маятника:

${\lambda }_1=\frac{r^2}{r^2/h}+\frac{r^2}{h}=h+\frac{r^2}{h}=\lambda$.

Совпадение приведённых длин для двух случаев и доказывает утверждение, сделанное в теореме.

Период колебаний физического маятника

Наиболее общий случай

Для того, чтобы найти период колебаний физического маятника, необходимо решить уравнение качания.

Для этого умножим левую $\lambda \frac{d^2\theta }{d{t}^2}=\lambda \frac{d}{dt}\left(\frac{d\theta }{dt}\right)$ и правую часть этого уравнения на $d\theta$. Тогда:

$\lambda \frac{d\theta }{dt}d\left(\frac{d\theta }{dt}\right)=-g\sin \theta d\theta$.

Интегрируя это уравнение, получаем:

$\lambda {\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2=2g\cos \theta +C$,

где $C$ — произвольная постоянная. Её можно найти из условия, что в ситуациях, когда $\theta =\pm \alpha$, должно быть $\frac{d\theta }{dt}=0$ ($\alpha$ — максимальный угол отклонения). Получаем:

$C=-2g\cos \alpha .$

Подставляем и преобразовываем получившееся уравнение:

$\frac{d\theta }{dt}=2\sqrt{\frac{g}{\lambda }}\sqrt{{\sin }^2\frac{\alpha }{2}-{\sin }^2\frac{\theta }{2}}.$

Отделяем переменные и интегрируем это уравнение:

$\sqrt{\frac{g}{\lambda }}t=\underset{0}{\overset{\frac{\theta }{2}}{\int }}\frac{d\left(\frac{\theta }{2}\right)}{\sqrt{{\sin }^2\frac{\alpha }{2}-{\sin }^2\frac{\theta }{2}}}$.

Удобно сделать замену переменной полагая $\sin \frac{\theta }{2}=\sin \frac{\alpha }{2}\sin \phi$. Тогда искомое уравнение принимает вид:

$t=\sqrt{\frac{\lambda }{g}}\underset{0}{\overset{\phi }{\int }}\frac{d\phi }{\sqrt{1-{\sin }^2\frac{\alpha }{2}{\sin }^2\phi }}=\sqrt{\frac{\lambda }{g}}F(\phi \setminus \alpha /2).$

Здесь $F(\phi \setminus \alpha )$ — нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода. Для периода колебаний получаем формулу:

$T=4\sqrt{\frac{\lambda }{g}}\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\frac{d\phi }{\sqrt{1-{\sin }^2\frac{\alpha }{2}{\sin }^2\phi }}=4\sqrt{\frac{\lambda }{g}}K(\sin \frac{\alpha }{2}).$

Здесь $K(\sin \frac{\alpha }{2})$ — полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода. Раскладывая его в ряд, можно получить удобную для практических вычислений формулу:

$T=2\pi \sqrt{\frac{\lambda }{g}}\{1+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2{\sin }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)+{\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)}^2{\sin }^4\left(\frac{\alpha }{2}\right)+\dots +{\left[\frac{(2n-1)!!}{\left(2n\right)!!}\right]}^2{\sin }^{2n}\left(\frac{\alpha }{2}\right)+\dots \}.$

Период малых колебаний физического маятника

Если $\alpha \ll 1$ — случай малых максимальных угловых отклонений от равновесия $|\theta |<\alpha$ — то $\sin \theta \approx \theta$ так как разложение синуса в ряд Маклорена $\sin \theta \approx \theta -{\theta }^3/3\dots$ и уравнения движения переходит в уравнение гармонического осциллятора без трения:

$\lambda \frac{d^2\theta }{d{t}^2}=-g\theta .$

Период колебания маятника в этом случае:

$T=2\pi \sqrt{\frac{\lambda }{g}}.$

В иной формулировке: если амплитуда колебаний $\alpha$ мала, то корень в знаменателе эллиптического интеграла приближённо равен единице. Такой интеграл легко берётся, и получается хорошо известная формула малых колебаний:

$T=2\pi \sqrt{\frac{\lambda }{g}}=2\pi \sqrt{\frac{I}{mgh}}.$

Эта формула даёт результаты приемлемой точности (ошибка менее Шаблон:Nobr при углах, не превышающих 4°.

Следующий порядок приближения можно использовать с приемлемой точностью (ошибка менее Шаблон:Nobr при углах отклонения до 1 радиана (≈57°):

$T\approx 2\pi \sqrt{\frac{\lambda }{g}}(1+\frac{1}{4}{\sin }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right))=\frac{\pi }{4}\sqrt{\frac{\lambda }{g}}(9-\cos \alpha ).$

См. также

• Математический маятник
• Маятник Дубошинского

Ссылки

• Шаблон:Из БСЭ