Лемниската Бернулли

Лемниската Бернулли с фокальными точками, построенная через параметрическое представление в GNU Octave

Лемниска́та Берну́лли — плоская алгебраическая кривая. Определяется как геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату половины расстояния между фокусами.

Лемниската по форме напоминает арабскую цифру «восемь» или символ бесконечности. Точка, в которой лемниската пересекает саму себя, называется узловой, или двойной.

История

Название происходит от Шаблон:Lang-grc — лента, повязка. В Древней Греции «лемнискатой» называли бантик, с помощью которого прикрепляли венок к голове победителя на спортивных играх. Данный вид лемнискаты назван в честь швейцарского математика Якоба Бернулли, положившего начало её изучению.

Уравнение лемнискаты впервые опубликовано в статье Curvatura Laminae Elasticae Якоба Бернулли в журнале Acta eruditorum в 1694 году. Бернулли назвал эту кривую lemniscus; он не знал, что четырнадцатью годами ранее Джованни Кассини уже исследовал более общий случай. Квадратуру лемнискаты впервые выполнил Шаблон:Не переведено, опубликовав в 1718 году статью Metodo per misurare la lemniscata и положив тем самым начало изучению эллиптических интегралов, продолженное впоследствии Леонардом Эйлером. Некоторые свойства кривой были также исследованы Якобом Штейнером в 1835 году.

Уравнения

Рассмотрим простейший случай: если расстояние между фокусами равняется $2c$, расположены они на оси $OX$, и начало координат делит отрезок между ними пополам, то следующие уравнения задают лемнискату:

• параметрическое в прямоугольных координатах:

  $x=\frac{c\sqrt{2}\cos (t)}{1+{\sin }^2(t)};y=\frac{c\sqrt{2}\sin (t)\cos (t)}{1+{\sin }^2(t)};$

• в прямоугольных координатах:

$(x^2+y^2{)}^2=2c^2(x^2-y^2);$

• в подерных координатахШаблон:Sfn:

$p{a}^2=r^3.$

Проведя несложные преобразования, можно получить явное уравнение:

$y=\pm \sqrt{\sqrt{c^4+4x^2{c}^2}-x^2-c^2}$

• в полярных координатах:

${\rho }^2=2c^2\cos 2\phi .$

Плотность точек кривой при равномерном изменении параметра

• Шаблон:Якорь Параметрическое уравнение в прямоугольной системе:

$\{\begin{array}{c}x=c\sqrt{2}\frac{p+p^3}{1+p^4}\\ y=c\sqrt{2}\frac{p-p^3}{1+p^4}\end{array}$, где $p^2=\mathrm{tg}(\frac{\pi }{4}-\phi )$

Это единственный вариант рациональной параметризации кривой. Уравнение полностью описывает кривую, когда параметр пробегает всю вещественную прямую: от $-\mathrm{\infty }$ до $+\mathrm{\infty }$. При этом, когда параметр стремится к $-\mathrm{\infty }$, точка кривой стремится к $(0;0)$ из второй координатной четверти, а когда параметр стремится к $+\mathrm{\infty }$, то — из четвёртой. Распределение точек, которые даёт параметрическое уравнение, при изменении его параметра с фиксированным шагом показано на рисунке.

• Чтобы задать лемнискату по двум произвольным точкам, можно не выводить уравнение заново, а определить преобразование координат, при котором старый (данный) фокусный отрезок переходит в новый, и воздействовать на представленные уравнения этим преобразованием.

Свойства

Некоторые свойства лемнискаты:
1. Симметрия относительно узловой точки;
2. Касательные в узловой точке имеют углы $\pm \frac{\pi }{4}$;
3. Для любой точки $A$ лемнискаты выполняется: $AP=PO$, где $AP$ — биссектриса $\mathrm{\angle }{F}_{1}A{F}_2$;
4. $\mu =2\phi +\frac{\pi }{2}$ для любой точки кривой;

Лемниската Бернулли является частным случаем овала Кассини при $a=c$, синусоидальной спирали с индексом $n=2$ и лемнискаты Бута при $c=0$, поэтому она наследует некоторые свойства этих кривых.

Свойства, верные для произвольных овалов Кассини

• Лемниската — кривая четвёртого порядка.
• Она симметрична относительно двойной точки — середины отрезка между фокусами.
• Кривая имеет 2 максимума и 2 минимума. Их координаты:

  $\{\begin{array}{c}x=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}c\\ y=\pm \frac{c}{2}\end{array}$

• Расстояние от максимума до минимума, находящихся по одну сторону от серединного перпендикуляра отрезка между фокусами равно расстоянию от максимума (или от минимума) до двойной точки.
• Лемнискату описывает окружность радиуса $a=c\sqrt{2}$, поэтому иногда в уравнениях производят эту замену.

Свойства, верные для произвольных синусоидальных спиралей

• Касательные в двойной точке составляют с отрезком $F_1{F}_2$ углы $\pm \frac{\pi }{4}$.
• Угол $\mu$, составляемый касательной в произвольной точке кривой с радиус-вектором точки касания равен $2\phi +\frac{\pi }{2}$.
• Касательные в точках пересечения кривой и хорды, проходящей через двойную точку, параллельны друг другу.
• Инверсия относительно окружности с центром в двойной точке, переводит лемнискату Бернулли в равнобочную гиперболу.
• Радиус кривизны лемнискаты есть $R=\frac{2c^2}{3\rho }$

Вывод

Есть частный случай формулы радиуса кривизны синусоидальной спирали: $R=\frac{\rho }{(m+1)\cos m\phi }$ при $m=2,$ однако, легко вывести и по определению. Уравнение лемнискаты в полярной системе: ${\rho }^2=2c^2\cos 2\phi$ Формулы перехода к полярной системе координат: $\{\begin{array}{c}x=\rho \cos \phi \\ y=\rho \sin \phi \end{array}$ Выражаем $\rho$: $\{\begin{array}{c}\rho =\frac{x}{\cos \phi }\\ \rho =\frac{y}{\sin \phi }\end{array}$ Подставляем в уравнение лемнискаты и выражаем $x$ и $y$: $\{\begin{array}{c}\frac{x^2}{co{s}^2\phi }=2c^2\cos 2\phi \\ \frac{y^2}{si{n}^2\phi }=2c^2\cos 2\phi \end{array}=\{\begin{array}{c}x=c\sqrt{2}\cos \phi \sqrt{\cos 2\phi }\\ y=c\sqrt{2}\sin \phi \sqrt{\cos 2\phi }\end{array}$ —- это параметрическое уравнение относительно $\phi$. Проведя некоторые тригонометрические преобразования, можно получить уравнение относительно $p$, указанное выше в разделе Уравнения. Формула радиуса кривизны кривой, заданной параметрически: $R=\frac{((x^{\prime }{)}^2+(y^{\prime }{)}^2{)}^{3/2}}{|x^{\prime }{y}^{″}-x^{″}{y}^{\prime }|}$ Находим производные по $\phi$: $x^{\prime }=c\sqrt{2}(-\sin \phi \sqrt{\cos 2\phi }-\cos \phi \frac{\sin 2\phi }{\sqrt{\cos 2\phi }})=-c\sqrt{2}\frac{\sin 3\phi }{\sqrt{\cos 2\phi }}$ $x^{″}=-c\sqrt{2}\frac{3\cos 3\phi \sqrt{\cos 2\phi }+\frac{\sin 2\phi }{\sqrt{\cos 2\phi }}\sin 3\phi }{\cos 2\phi }=\dots =-c\sqrt{2}\frac{2\cos \phi +\cos 5\phi }{(\cos 2\phi {)}^{3/2}}$ $y^{\prime }=c\sqrt{2}(-\cos \phi \sqrt{\cos 2\phi }-\sin \phi \frac{\sin 2\phi }{\sqrt{\cos 2\phi }})=c\sqrt{2}\frac{\cos 3\phi }{\sqrt{\cos 2\phi }}$ $y^{″}=c\sqrt{2}\frac{-3\sin 3\phi \sqrt{\cos 2\phi }+\frac{\sin 2\phi }{\sqrt{\cos 2\phi }}\cos 3\phi }{\cos 2\phi }=\dots =-c\sqrt{2}\frac{2\sin \phi +\sin 5\phi }{(\cos 2\phi {)}^{3/2}}$ Подставляем в формулу радиуса: $R=\dots =\frac{{\left(\frac{2c^2}{cos2\phi }\right)}^{3/2}}{\frac{6c^2}{\cos 2\phi }}=\frac{c\sqrt{2}}{3\sqrt{\cos 2\phi }}$ Возвращаемся к уравнению лемнискаты: ${\rho }^2=2c^2\cos 2\phi \Rightarrow \sqrt{\cos 2\phi }=\frac{\rho }{c\sqrt{2}}$ Подставляем это выражение в полученную формулу радиуса и получаем: $R=\frac{2c^2}{3\rho }$

• Натуральное уравнение кривой имеет вид

  $S=3\int \frac{\mathrm{d}R}{\sqrt{{\left(\frac{3}{c}R\right)}^4-1}}$

• Подерой лемнискаты является синусоидальная спираль

  ${\rho }^{\frac{2}{3}}=(c\sqrt{2}{)}^{\frac{2}{3}}\cos \frac{2}{3}\phi .$

• Лемниската сама является подерой равносторонней гиперболы.

Собственные свойства

Таутохронность лемнискаты

• Кривая является геометрическим местом точек, симметричных центру равносторонней гиперболы относительно её касательных.
• Отрезок биссектрисы угла между фокальными радиусами-векторами точки лемнискаты равен отрезку от центра лемнискаты до пересечения её оси с этой биссектрисой.
• Материальная точка, движущаяся по лемнискате под действием однородного гравитационного поля, пробегает дугу за то же время, что и соответствующую хорду (см. рисунок). Предполагается, что ось лемнискаты составляет угол $45^{\circ }$ с вектором напряжённости поля, а центр лемнискаты совпадает с исходным положением движущейся точки.
• Площадь полярного сектора $\phi \in [0,\alpha ]$, при $0⩽\alpha ⩽\frac{\pi }{4}$:

  $S(\alpha )=\frac{c^2}{2}\sin 2\alpha$

  • В частности, площадь каждой петли $2S\left(\frac{\pi }{4}\right)=c^2$, то есть площадь, ограниченная кривой, равна площади квадрата с диагональю $c\sqrt{2}$.
• Перпендикуляр, опущенный из фокуса лемнискаты на радиус-вектор какой-либо её точки, делит площадь соответствующего сектора пополам.
• Длина дуги лемнискаты между точками ${\phi }_1=0$ и ${\phi }_2=\phi$ выражается эллиптическим интегралом I рода:

  $L(\phi )=c\underset{0}{\overset{\phi }{\int }}\frac{\mathrm{d}\phi }{\sqrt{1-2{\sin }^2\phi }}=\frac{c}{\sqrt{2}}\underset{0}{\overset{\theta }{\int }}\frac{\mathrm{d}\theta }{\sqrt{1-\frac{1}{2}{\sin }^2\theta }}=\frac{c}{\sqrt{2}}F(\theta ,\frac{1}{\sqrt{2}}),$ где $2{\sin }^2\phi ={\sin }^2\theta .$

  • В частности, длина всей лемнискаты

    $4L\left(\frac{\pi }{4}\right)=2c\sqrt{2}K\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\approx 5,244a\approx 7,416c.$

Построения

При помощи секущих (способ Маклорена)

Строится окружность радиуса $\frac{c}{\sqrt{2}}$ с центром в одном из фокусов. Из середины $O$ фокусного отрезка строится произвольная секущая $OPS$ ($P$ и $S$ — точки пересечения с окружностью), и на ней в обе стороны откладываются отрезки $O{M}_1$ и $O{M}_2$, равные хорде $PS$. Точки $M_1$, $M_2$ лежат на разных петлях лемнискаты.

Шарнирные методы

Вариант первый

На плоскости выбираются две точки — $A$ и $B$ — будущие фокусы лемнискаты. Собирается специальная конструкция из трёх скреплённых в ряд на шарнирах отрезков, чтобы полученная линия могла свободно изгибаться в двух местах (точки сгиба — $C$ и $D$). При этом необходимо соблюсти пропорции отрезков: $AC=BD=\frac{AB}{\sqrt{2}},CD=AB$. Края линии крепятся к фокусам. При непараллельном вращении отрезков вокруг фокусов середина центрального отрезка опишет лемнискату Бернулли.

Вариант второй

В этом варианте лемниската строится по фокусу и двойной точке — $A$ и $O$ соответственно. Собирается почти такая же шарнирная конструкция как и в предыдущем варианте, но прикреплённый к двойной точке отрезок $OC$ соединяется не с концом центрального $BD$, а с его серединой. Пропорции также другие: $BC=CD=OC=\frac{AO}{\sqrt{2}},AB=AO$.

• Построение лемнискаты при помощи секущих
  Построение лемнискаты при помощи секущих
• 
  Шарнирный метод
• 
  Механизм Ватта (анимация)
• 
  Другой вариант шарнирного метода

При помощи сплайна NURBS

Пример построения лемнискаты Бернулли с помощью сплайна NURBS.
Синяя линия — контрольная ломаная сплайна. Зелёные кружки — контрольные точки сплайна. Размер кружков пропорционален весу контрольной точки. Зелёные числа рядом с контрольными точками — порядковые номера точек в контрольной ломаной.

Лемнискату Бернулли можно построить посредством сплайнов NURBS разными способами. Один из возможных способов представлен на рисунке. Параметры контрольных точек сплайна приведены в таблице:

№	$\frac{x\sqrt{2}}{c}$	$\frac{y\sqrt{2}}{c}$	$weight$
1	2	0	2
2	2	1	1
3	0	1	1
4	0	−1	1
5	−2	−1	1
6	−2	0	2
7	−2	1	1
8	0	1	1
9	0	−1	1
10	2	−1	1
11	2	0	2

Узловой вектор {−1, −1, −1, −1, −1, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 3}. Такое представление NURBS кривой полностью совпадает с рациональным параметрическим преставлением в прямоугольной системе координат в диапазоне изменения параметра p в интервале: $-1\le p\le 1$.

Обобщения

• Лемниската — общий случай с несколькими фокусами
• Овал Кассини — обобщение на произведение расстояний до фокусов
• Синусоидальная спираль — обобщение по виду параметрического уравнения (лемниската Бернулли получается при $n=2$)

См. также

• Лемниската Бута
• Лемниската Жероно
• Плоская кривая
• Алгебраическая кривая
• Бесконечность
• Аттрактор Лоренца

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга Шаблон:Wayback
• Шаблон:Книга
• Шаблон:H
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Cite web