Натуральные уравнения

Натуральные уравнения — соотношения на кривизну и кручение бирегулярных кривых. Замечательное свойство натуральных уравнений в том, что по ним можно однозначно восстановить кривую. Натуральные уравнения, уравнения, выражающие кривизну $k$ и кручение $\varkappa$ кривой как функции её дуги: $k=k(s)$, $\varkappa =\varkappa (s)$. Наименование «Натуральные уравнения» объясняется тем обстоятельством, что функции $k(s)$ и $\varkappa (s)$ не зависят от положения кривой в пространстве (от выбора системы координат), а зависят только от формы кривой. Две трижды непрерывно дифференцируемые кривые, имеющие одинаковые натуральные уравнения, могут отличаться друг от друга только положением в пространстве. Иначе говоря, форма кривой однозначно определяется её натуральными уравнениями. Если заданы две непрерывные функции $k(s)$ и $\varkappa (s)$, из которых первая положительная, то всегда существует кривая, для которой данные функции являются соответственно кривизной и кручением.

Натуральные уравнения плоских кривых

Пусть $f(s)$ — произвольная гладкая функция. В таком случае существует кривая $\gamma$, единственная с точностью до сохраняющего ориентацию движения плоскости, параметризованная натуральным параметром $s$ и такая, что $f(s)=k_o(s)$ во всех точках кривой. Здесь величина $k_o(s)$ — ориентированная кривизна кривой $\gamma$.

Натуральные уравнения в трехмерном пространстве

Пусть $f(s)$ и $g(s)$ — две произвольные гладкие функции, причём $f(s)$ положительна. Тогда существует кривая $\gamma$, параметризованная натуральным параметром $s$, кривизна и кручение которой равны в каждой точке $f(s)$ и $g(s)$ соответственно. Такая кривая единственна с точностью до движения пространства, сохраняющего ориентацию.