Лемниската Бута

Лемниската Бута — плоская алгебраическая кривая четвёртого порядка, частный случай кривой Персея. Названа в честь Джеймса Бута.

Уравнение в прямоугольных декартовых координатах:

$(x^2+y^2{)}^2-(2m^2+c)x^2+(2m^2-c)y^2=0.$

Виды

Форма кривой зависит от соотношения между параметрами $m$ и $c$. Если $c>2m^2$, то уравнение лемнискаты принимает вид

$(x^2+y^2{)}^2=a^2{x}^2+b^2{y}^2$, где $a^2=2m^2+c$ и $b^2=c-2m^2.$

В этом случае лемниската Бута является подерой эллипса относительно его центра и называется эллиптической. Её уравнение в полярных координатах имеет вид

${\rho }^2=a^2{\cos }^2\varphi +b^2{\sin }^2\varphi .$

Если $c<2m^2$, то уравнение лемнискаты принимает вид

$(x^2+y^2{)}^2=a^2{x}^2-b^2{y}^2$, где $a^2=2m^2+c$ и $b^2=2m^2-c.$

В этом случае лемниската Бута является подерой гиперболы относительно её центра и называется гиперболической. Её уравнение в полярных координатах имеет вид

${\rho }^2=a^2{\cos }^2\varphi -b^2{\sin }^2\varphi .$

Частные случаи

• При $c=2m^2$ лемниската Бута вырождается в две окружности $x^2+y^2\pm 2mx=0.$
• При $c=0$ лемниската Бута вырождается в лемнискату Бернулли.

Свойства

• Лемниската Бута — ортогональная проекция на плоскость xOy линии пересечения поверхности параболоида $x^2+y^2=cz$ с поверхностью конуса $a^2{x}^2+b^2{y}^2=c^2{z}^2.$
• Лемнискату Бута можно получить инверсией кривой второго порядка $a^2{x}^2\pm b^2{y}^2=k^4$ с центром в начале координат.

Площадь

С помощью полярного уравнения лемнискаты можно определить площадь, которую она ограничивает. Для эллиптической лемнискаты:

$2\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}(a^2{\cos }^2\varphi +b^2{\sin }^2\varphi )d\varphi =\frac{\pi }{2}(a^2+b^2).$

Для гиперболической лемнискаты:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{arctg}\frac{a}{b}}{\int }}(a^2{\cos }^2\varphi -b^2{\sin }^2\varphi )d\varphi =\frac{a^2-b^2}{2}\mathrm{arctg}\frac{a}{b}+\frac{ab}{2}.$

См. также

• Лемниската Бернулли
• Лемниската Жероно
• Овал Кассини

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:MathWorld
• Courbe de BoothШаблон:Ref-fr