Кривая Персея

Кривые Персея как сечения тора плоскостью

Три кривых Персея:
$a=1,b=2,c=0$
$a=1,b=2,c=0,8$
$a=1,b=2,c=1$

Кривая Персея (спирическое сечение, спирическая линия, от Шаблон:Lang-grc — торШаблон:Sfn) — сечение тора плоскостью, параллельной оси вращения тора; плоская алгебраическая кривая 4-го порядка. В зависимости от параметров сечения, кривые могут иметь формы «выпуклых» и «вдавленных» овалов, «восьмёрок» и двух оваловШаблон:Sfn.

Впервые этот подкласс торических сечений изучен древнегреческим геометром Персеем около 150 года до н. э., спустя приблизительно 200 лет после первых исследований конических сечений МенехмомШаблон:Sfn. Переоткрыты в XVII векеШаблон:Sfn; лемниската Бута («выпуклый овал») и овал Кассини («восьмёрка») — частные случаи кривой Персея.

Уравнение кривой в декартовой системе координат:

$(r^2-a^2+c^2+x^2+y^2{)}^2=4r^2(x^2+c^2)$,

в ней $a$ — радиус окружности, вращением которой вдоль окружности с радиусом $r$ образован тор. При $c=0$ кривая состоит из двух окружностей радиуса $a$ с центрами $(\pm r,0)$; при $c=r+a$ кривая вырождается в точку — начало координат, если же $c>r+a$ — то кривая состоит из пустого множества точекШаблон:Sfn.

Если ввести новые параметры: $d=2(a^2+b^2-c^2)$, $e=2(a^2-b^2-c^2)$ и $f=-(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)$, то возникает другая форма уравнения:

$(x^2+y^2{)}^2=d{x}^2+e{y}^2+f$.

Также можно определить кривую Персея как бициркулярную кривую, симметричную относительно осей $x$ и $y$.

Уравнение в полярных координатах:

$(r^2-a^2+b^2+c^2{)}^2=4b^2(r^2{\cos }^2\theta +c^2)$,

или:

$r^4=r^2(d{\cos }^2\theta +e{\sin }^2\theta )+f$.

Поскольку в приведённые неявные формулы входят только квадраты переменных, то получение явных формул сводится к решению квадратных уравнений.

Литература

• Шаблон:Книга

Ссылки

• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:Cite web
• Шаблон:MacTutor Biography