Подерная система координат

Шаблон:Обзорная статья Поде́рная систе́ма координа́т — система координат, основанная на подерном преобразовании. Подерные координаты точки дифференцируемой кривой состоят из двух величин, двух расстояний от некоторой заданной точки (полюса): до точки кривой и до соответствующей точки её подеры Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn.

Традиционные системы координат, такие, как декартова и полярная, суть точечные понятия. В этих системах для любой точки плоскости один и только один набор координат с традиционными обозначениями $(x, y)$ для декартовой и $(r, φ)$ для полярной системы. В противоположность этому подерные координаты зависят от конкретных кривых, и произвольная точка плоскости имеет много разных подерных координат $(r, p)$ , которые зависят от выбранной кривой и полюсаШаблон:Sfn.

Определение подерных координат

Поде́рные координа́ты данной точки плоскости относительно произвольной фиксированной точки и дифференцируемой кривой, проходящей через данную точку, — расстояние $r$ от фиксированной точки до данной точки и расстояние $p$ от фиксированной точки до касательной к кривой в данной точке. Другими словами, подерные координаты точки кривой состоят из двух величин, двух расстояний от фиксированной точки: $r$ до точки кривой и $p$ до соответствующей точки её подеры Шаблон:Sfn.

Фиксированная точка из определения подерных координат называется началом координат, или подерной точкой, или полюсом подерной системы счисления, расстояние $r$ от начала координат до точки на кривой называется радиальным расстоянием точки кривой, а расстояние $p$ от начала координат до касательной прямой — перпендикулярным расстоянием точки кривойШаблон:Sfn.

Если, например, взять другую кривую, проходящую через данную точку, оставив начало координат на месте, то в этом случае значение радиального расстояния $r$ останется прежним, но перпендикулярное расстояние $p$ может быть другим. Кроме того, изолированная точка кривой не имеет второй координаты $p$ , а точка самопересечения имеет две разные координаты $p$ Шаблон:Sfn.

Пропорциональность подерных координат

Имеет место следующее утверждение о пропорциональности подерных координат:

радиальные и перпендикулярные расстояния кривой

C

и её подеры

C_{P}

относительно полюса

O

пропорциональны, то есть

\frac{p}{r} = \frac{p_{2}}{p},

или

p^{2} = r p_{2},

или

p_{2} = \frac{p^{2}}{r} = {(\frac{p}{r})}^{2} r,

где:

r

— радиальное расстояние текущей точки

R

исходной кривой от полюса

O;

p

— перпендикулярные расстояние точки исходной кривой

R

от полюса

O,

оно же радиальное расстояние соответствующей точки первой подеры

P

от полюса

O;

p_{2}

— перпендикулярное расстояние соответствующей точки первой подеры

P

от полюса

O,

оно же радиальное расстояние соответствующей точки второй подеры

P_{2}

от полюса

O

, как показано на рисунке справаШаблон:Sfn Шаблон:Sfn.

Шаблон:Скрытый

Для третьей подеры получаем следующее радиальное расстояниеШаблон:Sfn:

p_{3} = {(\frac{p_{2}}{p})}^{2} p = {(\frac{p^{2}}{r p})}^{2} p = {(\frac{p}{r})}^{3} r,

и аналогично для [[Подера#Подера и антиподера на плоскости|Шаблон:S подеры]] имеем общую формулу радиального расстояния

p_{n} = {(\frac{p}{r})}^{n} r .

Для антиподеры $p_{- 1}$ изменим в пропорции обозначенияШаблон:Sfn:

\frac{r}{p_{- 1}} = \frac{p}{r},

откуда

p_{- 1} = \frac{r^{2}}{p} = {(\frac{p}{r})}^{- 1} r,

для второй антиподеры

p_{- 2} = (\frac{p_{- 1}^{2}}{r}) = (\frac{r^{3}}{p^{2}}) = {(\frac{p}{r})}^{- 2} r,

и аналогично для [[Подера#Подера и антиподера на плоскости|Шаблон:S антиподеры]] имеем общую формулу радиального расстояния

p_{- n} = {(\frac{p}{r})}^{- n} r .

Также

p_{- n} = {(\frac{r}{p_{- 1}})}^{- n} r,

p_{n} = {(\frac{r}{p_{- 1}})}^{n} r .

Примеры подерных уравнений кривых

В этом разделе собраны примеры подерных уравнений кривых, то есть уравнений в подерной системе координат. Параметр $a$ задаёт размеры кривойШаблон:Sfn: