Астроида

Астроида

Астро́ида (от Шаблон:Lang-el — звезда и Шаблон:Lang-el2 — вид, то есть звездообразная)Шаблон:Sfn — плоская кривая, описываемая точкой окружности радиуса $r$, катящейся по внутренней стороне окружности радиуса $R=4r$. Иначе говоря, астроида — это гипоциклоида с модулем $k=4$.

История

Название кривой в форме «Astrois» предложил австрийский астроном Йозеф Иоганн фон Литров в 1838 г.Шаблон:Sfn

Уравнения

Уравнение в декартовых прямоугольных координатах:

$x^{2/3}+y^{2/3}=R^{2/3}$

Параметрическое уравнение:

$x=R{\cos }^{3}t;y=R{\sin }^{3}t$

Подерное уравнениеШаблон:Sfn:

$r^2+3p^2=a^2.$

Астроида также является алгебраической кривой 1 рода (и шестого порядка). Уравнение в алгебраическом виде:

$(x^2+y^2-R^2{)}^3+27R^2{x}^2{y}^2=0$

Свойства

Астроида как огибающая

Вытянутая астроида как эволюта эллипса

Эволюта астроиды

• Имеются четыре каспа.
• Длина дуги от точки с 0 до $t\le \pi /2$

$l=\frac{3}{2}R{\sin }^{2}t$

• Длина всей кривой $6R$.
• Радиус кривизны:

$r(t)=\frac{3}{2}R\sin 2t$

• Площадь, ограниченная кривой:

$S=\frac{3}{8}\pi R^2$

• Объём тела вращения относительно любой координатной оси:

$V=\pi \underset{-R}{\overset{R}{\int }}{(R^{2/3}-x^{2/3})}^{3}dx=\frac{32}{105}\pi R^3$

• Астроида является огибающей семейства отрезков постоянной длины, концы которых расположены на двух взаимно перпендикулярных прямыхШаблон:Sfn.
• Эволюта астроиды подобна ей, но вдвое больше неё и повёрнута относительно неё на 45°.
• Астроида (вытянутая вдоль оси) является эволютой эллипсаШаблон:Sfn. В этом случае параметрическое выражение имеет вид:

  $x=\frac{a^2-b^2}{a}{\cos }^{3}t;y=\frac{b^2-a^2}{b}{\sin }^{3}t$

• Неопределённый интеграл правой части последнего уравнения является интегралом от дифференциального бинома и равен

$\int b[1-(\frac{x}{a}{)}^{\frac{2}{3}}{]}^{\frac{3}{2}}dx=\frac{1}{16}b(\sqrt{1-{\left(\frac{x}{a}\right)}^{\frac{2}{3}}}(-3a\sqrt[3]{\frac{x}{a}}+x(14-8{\left(\frac{x}{a}\right)}^{\frac{2}{3}}))+3a\arcsin \left(\sqrt[3]{\frac{x}{a}}\right))+C$

Это выражение полезно при вычислении площадей элементов фигуры.

Литература

• Савёлов А. А. Плоские кривые: Систематика, свойства, применения. М.: Физматгиз, 1960. 293 с. Переиздана в 2002 году, ISBN 5-93972-125-7.
• Шаблон:Книга
• Шаблон:H