Эволюта

Гипербола и для её правой ветви — Шаблон:Oncolor, а также Шаблон:Oncolor, соответствующая кривизне вершины гиперболы

Эволю́та (от Шаблон:Lang-la «развёрнутый») плоской кривой — геометрическое место точек, являющихся центрами кривизны исходной кривойШаблон:Sfn.

Эволюта — огибающая нормалей, проведённых в каждой точке плоской кривой^[1].

По отношению к своей эволюте любая кривая является эвольвентой.

Уравнения

Если линия задана параметрическими уравнениями $X = x (t), Y = y (t)$ , то её эволюта имеет уравнение:

X = x (t) - y^{'} \frac{x'^{2} + y'^{2}}{x^{'} y^{″} - x^{″} y^{'}},

Y = y (t) + x^{'} \frac{x'^{2} + y'^{2}}{x^{'} y^{″} - x^{″} y^{'}}

В частности, если $t$ является натуральным параметром кривой $\vec{r} (t)$ , то её эволюта может быть задана^[1] уравнением:

\vec{r} (t) + \frac{1}{k (t)} \vec{n} (t)

,

где $\vec{n}$ — единичный вектор нормали кривой, направленный в сторону центра кривизны, $k$ — кривизна.

x = \frac{a^{2} - b^{2}}{a} \cos^{3} t, y = \frac{b^{2} - a^{2}}{b} \sin^{3} t

является эволютой эллипса

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

.

Эволюта астроиды подобна ей, но вдвое больше неё и повёрнута относительно неё на 45°.
Эволюта циклоиды является циклоидой, конгруэнтной исходной и параллельно сдвинутой от исходной так, что вершины переходят в её каспы. Эти свойства открыты Христианом Гюйгенсом; они были им использованы при создании точных механических часов, собственная частота маятника в которых не зависит от амплитуды колебаний.