Параллельная кривая

Эллипс (красный), его эволюта (синий) и несколько параллельных кривых (зелёный). Обратите внимание, как изламываются параллельные кривые при встрече с эволютой.

Параллельная кривая или эквидистанта плоской кривой — огибающая семейства окружностей равного радиуса, центры которых лежат на заданной кривой. Понятие параллельной кривой — обобщение понятия параллельной прямой на случай плоских кривых.

Для параметрически заданной кривой параллельная кривая, проходящая на расстоянии $a$ от данной определяется уравнениями

$X=x+\frac{a{y}^{\prime }}{\sqrt{x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2}}$,

$Y=y-\frac{a{x}^{\prime }}{\sqrt{x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2}}$.

Или в векторной форме:

$\overrightarrow{r}=r(t)$

$\overrightarrow{R}=\overrightarrow{r}+a\frac{\overrightarrow{r}{}^{\prime }}{|\overrightarrow{r}{}^{\prime }|}\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)=\overrightarrow{r}+\frac{\overrightarrow{r}{}^{\prime }}{|\overrightarrow{r}{}^{\prime }|}\left(\begin{array}{cc}0& a\\ -a& 0\end{array}\right)$,

где матрица $\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$ соответствует повороту вектора на 90° по часовой стрелке.

Свойства

• Ориентированная кривизна $k_a$ параллельной кривой ${\gamma }_a$ выражается через кривизну $k$ исходной кривой $\gamma$ по формуле

  $k_a=\frac{k}{|1-a\cdot k|}.$

См. также

• Эволюта
• Эвольвента
• Эквидистанта

Ссылки

• Шаблон:MathWorld
• Эквидистанта и не только...

Литература

• Дингельдэй Ф. Сборникъ задачъ по приложенiю дифференцiальнаго и интегральнаго исчисленiй. — СПб: Тип. А. С. Суворина, 1912. — с. 65—66, 221—222.