Дифференциальный бином

В математическом анализе дифференциальным биномом или биномиальным дифференциалом называется дифференциал вида

$x^m(a+b{x}^n{)}^{p}dx,$

где a, b — действительные числа, a m, n, p — рациональные числа. Представляет интерес интеграл от дифференциального бинома:

$I=\int x^m(a+b{x}^n{)}^{p}dx.$

Свойства

Выразимость интеграла в элементарных функциях

Линии, проходящие через точку (-1,0), которым принадлежат точки (m,n), где m,n — рациональные числа, удовлетворяющие второму условию интегрируемости дифференциального бинома

Гиперболические параболоиды, которым принадлежат точки (m,n,p), где m,n,p — рациональные числа, удовлетворяющие третьему условию интегрируемости дифференциального бинома

Интеграл от дифференциального бинома выражается в элементарных функциях только в трёх случаях:

• $p$ — целое число. Используется подстановка $x=t^k$, $k$ — общий знаменатель дробей $m$ и $n$;
• $\frac{m+1}{n}$ — целое число. Используется подстановка $a+b{x}^n=t^s$, $s$ — знаменатель дроби $p$.
• $p+\frac{m+1}{n}$ — целое число. Используется подстановка $a{x}^{-n}+b=t^s$, $s$ — знаменатель дроби $p$.

Связь с бета-функцией и гипергеометрической функцией

Интеграл от дифференциального бинома выражается через неполную бета-функцию:

$I=\frac{1}{n}{a}^p{(-\frac{a}{b})}^{(m+1)/n}\cdot B_y(\frac{m+1}{n},p+1),$

где $y=-\frac{b}{a}{x}^n$, а также через гипергеометрическую функцию:

$I=\frac{1}{m+1}{a}^p{(-\frac{a}{b})}^{(m+1)/n}{y}^{(m+1)/n}\cdot {}_2{F}_1(\frac{m+1}{n},-p;\frac{m+1}{n}+1;y).$

Примеры

Интеграл

$\int \sqrt[3]{1+x^2}dx$

не выражается в элементарных функциях, здесь $m=0,n=2,p=\frac{1}{3}$, и ни одно из трёх условий для m, n и p не выполнено.

В то же время интеграл

$\int \sqrt{1+x^2}dx=\frac{x\sqrt{x^2+1}}{2}+\frac{1}{2}\ln (x+\sqrt{x^2+1})+C$,

как видим, выражается в элементарных функциях, поскольку здесь $m=0,n=2,p=\frac{1}{2}$, и $\frac{m+1}{n}+p=1$, то есть является целым числом.

История

Интеграл от дифференциального бинома (слева вверху) на почтовой марке России 2021 года, посвящённой П. Л. Чебышеву

Случаи выразимости дифференциального бинома в элементарных функциях были известны ещё Л. ЭйлеруШаблон:Нет в источнике. Однако, невыразимость дифференциального бинома в элементарных функциях во всех остальных случаях была доказана П. Л. Чебышёвым в 1853 году.

См. также

• Список интегралов элементарных функций

Ссылки

• Шаблон:Из БСЭ
• Шаблон:PlanetMath
• Tables of indefinite integrals.