Основное тригонометрическое тождество

Основное тригонометрическое тождество — соотношение ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$, выполняющееся для произвольного значения $\alpha$. Основное тригонометрическое тождество представляет собой запись теоремы Пифагора для треугольника в тригонометрическом круге; длины катетов этого треугольника по модулю равны соответствующим синусу и косинусу, а гипотенуза, будучи радиусом тригонометрического круга, равна единице.

Доказательства

Используя единичную окружность

Применение теоремы Пифагора для вывода основного тригонометрического тождества

Единичная окружность с центром в начале координат определяется уравнением $x^2+y^2=1$. Пускай на окружности лежит точка, расположенная под углом $\alpha$ от оси абсцисс. Тогда координаты этой точки: $x=\cos \alpha ;y=\sin \alpha$. Соответственно исходя из уравнения окружности получаем: ${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1$.

Используя прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник с катетами $a,$ $b$ и гипотенузой $c$

По определению, синус это отношение противоположного катета к гипотенузе, косинус — отношение прилегающего катета к гипотенузе. В прямоугольном треугольнике с катетами $a,$ $b$ и гипотенузой $c$ получаем:

$\sin \theta =\frac{b}{c},$

$\cos \theta =\frac{a}{c}.$

Возведём эти выражения в квадрат и прибавим ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =\frac{a^2+b^2}{c^2}.$

Согласно теореме Пифагора, $a^2+b^2=c^2,$ следовательно ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =\frac{a^2+b^2}{c^2}=1$.

См. также

• Тригонометрические тождества
• Список математических тождеств