Напряжённость гравитационного поля

Напряжённость гравитацио́нного по́ля — векторная величина, характеризующая гравитационное поле в данной точке и численно равная отношению силы тяготения $\overrightarrow{F}$, действующей на пробное тело, помещённое в данную точку поля, к гравитационной массе этого тела $m_G$:

$\overrightarrow{E}=\frac{\overrightarrow{F}}{m_G}.$

Измеряется в ньютонах на килограмм, или, что то же самое, в м/с².

Свойства

Если источником гравитационного поля является некое гравитирующее тело, то согласно Закону всемирного тяготения:

$E=\frac{G\frac{m_G{M}_G}{R^2}}{m_G}=G\frac{M_G}{R^2},$

где $G$ — гравитационная постоянная; $M_G$ — гравитационная масса тела-источника поля; $R$ — расстояние от исследуемой точки пространства до центра масс тела-источника поля.

Применяя Второй закон Ньютона и принцип эквивалентности гравитационной ($m_G$) и инертной ($m_I$) масс, имеем:

$\{\begin{array}{c}{m}_I=m_G\\ F=m_{I}g\\ F=G\frac{m_G{M}_G}{R^2}\\ \overrightarrow{E}=\frac{\overrightarrow{F}}{m_G}\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}g=G\frac{M_G}{R^2}\\ E=G\frac{M_G}{R^2}\end{array}\Rightarrow E=g,$

то есть напряжённость гравитационного поля численно (и по размерности) равна ускорению свободного падения в этом поле.

Напряжённость связана с потенциалом гравитационного поля как

$\overrightarrow{E}(\overrightarrow{r})=-\mathrm{\nabla }\phi (\overrightarrow{r})$,

где $\mathrm{\nabla }$ — оператор набла. Налицо математическая аналогия с электростатическими потенциалом и напряжённостью.

Расчёт

В случае создания гравитационного поля совокупностью точечных масс $M_{Gi}$ напряжённость рассчитывается как сумма

$\overrightarrow{E}(\overrightarrow{r})=-G\sum _i{M}_{Gi}\frac{\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}_i}{|\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}_i{|}^3}$,

где через ${\overrightarrow{r}}_i$ обозначены радиус-векторы масс. Частным случаем является ситуация, когда масса одна, при этом сумма будет состоять из одного слагаемого.

Для непрерывного распределения массы с плотностью $\rho$ напряжённость вычисляется через интеграл

$\overrightarrow{E}(\overrightarrow{r})=-G\int \rho ({\overrightarrow{r}}^{\prime })\frac{\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{\prime }}{|\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{\prime }{|}^3}\mathrm{d}{V}^{\prime }$,

где ${\overrightarrow{r}}^{\prime }$ — радиус-вектор бесконечно малого элемента объёма $d{V}^{\prime }$; интегрирование выполняется по области пространства с ненулевой $\rho$.

Литература

• Сивухин Д. В. Общий курс физики. — Изд. 4-е, стереотипное. — М.: ФИЗМАТЛИТ; Изд-во МФТИ, 2004. — Т. I. Механика. — 576 с.

См. также

• Напряжённость электрического поля
• Напряжённость магнитного поля
• Гравитационный потенциал