Дзета-функция Гурвица

Шаблон:Другие значения термина В математике Дзета-функция Гурвица, названная в честь Адольфа Гурвица, — это одна из многочисленных дзета-функций, являющихся обобщениями дзета-функции Римана. Формально она может быть определена степенным рядом для комплексных аргументов s, при Re(s) > 1, и q, Re(q) > 0:

$\zeta (s,q)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(q+n{)}^s}.$

Этот ряд является абсолютно сходящимся для заданных значений s и q. Дзета-функция Римана — это частный случай дзета-функции Гурвица при q=1.

Аналитическое продолжение

Дзета функция Гурвица допускает аналитическое продолжение до мероморфной функции, определённой для всех комплексных s, при s ≠ 1. В точке s = 1 она имеет простой полюс с вычетом равным 1. Постоянный член разложения в ряд Лорана в окрестности точки s = 1 равен:

$\underset{s\to 1}{\lim }[\zeta (s,q)-\frac{1}{s-1}]=\frac{-{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(q)}{\mathrm{\Gamma }(q)}=-\psi (q)$,

где Γ(x) — это гамма-функция, и ψ(x) — это дигамма-функция.

Представления в виде рядов

Представление в виде сходящегося степенного ряда для q > −1 и произвольного комплексного s ≠ 1 было получено в 1930 году Гельмутом Хассе

$\zeta (s,q)=\frac{1}{s-1}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n+1}\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(q+k{)}^{1-s}.$

Этот ряд равномерно сходится на любом компактном подмножестве комплексной s-плоскости к целой функции. Внутренняя сумма может быть представлена в виде n-ой конечной разности для $q^{1-s}$, то есть:

${\mathrm{\Delta }}^n{q}^{1-s}=\sum _{k=0}^n(-1{)}^{n-k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(q+k{)}^{1-s}$

где Δ — оператор конечной разности. Таким образом

$\zeta (s,q)=\frac{1}{s-1}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n+1}{\mathrm{\Delta }}^n{q}^{1-s}$

$=\frac{1}{s-1}\frac{\log (1+\mathrm{\Delta })}{\mathrm{\Delta }}{q}^{1-s}.$

Интегральные представления

Дзета-функция Гурвица имеет интегральное представление в виде преобразования Меллина:

$\zeta (s,q)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(s)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{t^{s-1}{e}^{-qt}}{1-e^{-t}}dt$

для Re(s)>1 и Re(q) >0.

Формула Гурвица

$\zeta (1-s,x)=\frac{1}{2s}[e^{-i\pi s/2}\beta (x;s)+e^{i\pi s/2}\beta (1-x;s)]$,

где

$\beta (x;s)=2\mathrm{\Gamma }(s+1)\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\exp (2\pi inx)}{(2\pi n{)}^s}=\frac{2\mathrm{\Gamma }(s+1)}{(2\pi {)}^s}{\text{Li}}_s(e^{2\pi ix})$.

Это представление дзета-функции Гурвица верно для 0 ≤ x ≤ 1 и s>1. Здесь ${\text{Li}}_s(z)$ — это полилогарифм.

Функциональное уравнение

Данное функциональное уравнение связывает значения дзета-функции Гурвицa слева и справа от прямой Re(s)=1/2 в комплексной s-плоскости. Для натуральных m и n, таких что m ≤ n:

$\zeta (1-s,\frac{m}{n})=\frac{2\mathrm{\Gamma }(s)}{(2\pi n{)}^s}\sum _{k=1}^n\left[cos(\frac{\pi s}{2}-\frac{2\pi km}{n})\zeta (s,\frac{k}{n})\right]$

верно для всех значений s.

Ряд Тейлора

Производная дзета-функции Гурвица по второму аргументу также выражается через дзета-функцию Гурвица:

$\frac{\partial }{\partial q}\zeta (s,q)=-s\zeta (s+1,q).$

Таким образом ряд Тейлора имеет вид:

$\zeta (s,x+y)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{y^k}{k!}\frac{{\partial }^k}{\partial x^k}\zeta (s,x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{s+k-1}{s-1})(-y{)}^k\zeta (s+k,x).$

Ряд Лорана

Разложение дзета-функции Гурвица в ряд Лорана может быть использовано для определения Шаблон:Нп1, которые появляются в разложении:

$\zeta (s,q)=\frac{1}{s-1}+\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n!}{\gamma }_n(q)(s-1{)}^n.$

Преобразование Фурье

Дискретное преобразование Фурье по переменной s дзета-функции Гурвица является хи-функцией Лежандра

Связь с многочленами Бернулли

Определённая выше функция $\beta (x;n)$ обобщает многочлены Бернулли:

$B_n(x)=-Re[(-i{)}^n\beta (x;n)]$.

С другой стороны,

$\zeta (-n,x)=-\frac{B_{n+1}(x)}{n+1}.$

В частности, при $n=0$:

$\zeta (0,x)=\frac{1}{2}-x.$

Связь с тета-функцией Якоби

Если $\vartheta (z,\tau )$ — это тета-функция Якоби, тогда

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}[\vartheta (z,it)-1]t^{s/2}\frac{dt}{t}={\pi }^{-(1-s)/2}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1-s}{2}\right)[\zeta (1-s,z)+\zeta (1-s,1-z)]$.

Эта формула верна для Re(s) > 0 и любого комплексного z, не являющегося целым числом. Для целого z=n формула упрощается:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}[\vartheta (n,it)-1]t^{s/2}\frac{dt}{t}=2{\pi }^{-(1-s)/2}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1-s}{2}\right)\zeta (1-s)=2{\pi }^{-s/2}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{s}{2}\right)\zeta (s)$.

где ζ(s) — дзета-функция Римана. Последнее выражение является функциональным уравнением для дзета-функция Римана.

Связь с L-функцией Дирихле

При рациональных значениях аргумента дзета-функция Гурвица может быть представлена в виде линейной комбинации L-функций Дирихле и наоборот. Если q = n/k при k > 2, (n,k) > 1 и 0 < n < k, тогда

$\zeta (s,n/k)=\sum _{\chi }\bar{\chi }(n)L(s,\chi ),$

при этом суммирование ведётся по всем характерам Дирихле по модулю k. И обратно

$L(s,\chi )=\frac{1}{k^s}\sum _{n=1}^k\chi (n)\zeta (s,\frac{n}{k}).$

в частности верно следующее представление:

$k^s\zeta (s)=\sum _{n=1}^k\zeta (s,\frac{n}{k}),$

обобщающее

$\sum _{p=0}^{q-1}\zeta (s,a+p/q)=q^s\zeta (s,qa).$ (Верно при натуральном q и ненатуральном 1 − qa.)

Рациональные значения аргументов

Дзета-функция Гурвица встречается в различных интересных соотношениях для рациональных значений аргументов. В частности, для многочленов Эйлера $E_n(x)$:

$E_{2n-1}\left(\frac{p}{q}\right)=(-1{)}^n\frac{4(2n-1)!}{(2\pi q{)}^{2n}}\sum _{k=1}^q\zeta (2n,\frac{2k-1}{2q})\cos \frac{(2k-1)\pi p}{q}$

и

$E_{2n}\left(\frac{p}{q}\right)=(-1{)}^n\frac{4(2n)!}{(2\pi q{)}^{2n+1}}\sum _{k=1}^q\zeta (2n+1,\frac{2k-1}{2q})\sin \frac{(2k-1)\pi p}{q}$,

Кроме того

$\zeta (s,\frac{2p-1}{2q})=2(2q{)}^{s-1}\sum _{k=1}^q[C_s\left(\frac{k}{q}\right)\cos \left(\frac{(2p-1)\pi k}{q}\right)+S_s\left(\frac{k}{q}\right)\sin \left(\frac{(2p-1)\pi k}{q}\right)]$,

верное для $1\le p\le q$. Здесь $C_{\nu }(x)$ и $S_{\nu }(x)$ выражаются через хи-функциию Лежандра ${\chi }_{\nu }$ как

$C_{\nu }(x)=\mathrm{Re}{\chi }_{\nu }(e^{ix})$

и

$S_{\nu }(x)=\mathrm{Im}{\chi }_{\nu }(e^{ix}).$

Приложения

Дзета-функция Гурвица возникает в различных разделах математики. Чаще всего встречается в теории чисел, где её теория является наиболее развитой. Также дзета-функция Гурвица встречается в теории фракталов и динамических систем. Дзета-функция Гурвица применяется в математической статистике, возникает в законе Ципфа. В физике элементарных частиц возникает в формуле Швингера, дающей точный результат для показателя рождения пар в уравнении Дирака для стационарного электромагнитного поля.

Частные случаи и обобщения

Дзета-функция Гурвица связана с полигамма-функцией:

${\psi }^{(m)}(z)=(-1{)}^{m+1}m!\zeta (m+1,z).$

Дзета-функция Лерха обобщает дзета-функцию Гурвица:

$\mathrm{\Phi }(z,s,q)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{(k+q{)}^s}$

то есть

$\zeta (s,q)=\mathrm{\Phi }(1,s,q).$

Литература

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4.
• Victor S. Adamchik, Derivatives of the Hurwitz Zeta Function for Rational Arguments, Journal of Computational and Applied Mathematics, 100 (1998), pp 201—206.
• Linas Vepstas, The Bernoulli Operator, the Gauss-Kuzmin-Wirsing Operator, and the Riemann Zeta
• Istvan Mezo and Ayhan Dil, Hyperharmonic series involving Hurwitz zeta functionШаблон:Недоступная ссылка, Journal of Number Theory, (2010) 130, 2, 360—369.

Ссылки

• Шаблон:Mathworld