Полигамма-функция

Дигамма-функция $\psi (x)$

Тригамма-функция ${\psi }^{\prime }(x)$

Тетрагамма-функция ${\psi }^{″}(x)$

Пентагамма-функция ${\psi }^{‴}(x)$

Полига́мма-фу́нкция порядка m в математике определяется как (m+1)-я производная натурального логарифма гамма-функции,

${\psi }^{(m)}(z)=\frac{{\mathrm{d}}^m}{\mathrm{d}{z}^m}\psi (z)=\frac{{\mathrm{d}}^{m+1}}{\mathrm{d}{z}^{m+1}}\ln \mathrm{\Gamma }(z),$

где $\mathrm{\Gamma }(z)$ — гамма-функция, а

$\psi (z)={\psi }^{(0)}(z)=\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(z)}{\mathrm{\Gamma }(z)}$

— дигамма-функция, которую также можно определить через сумму следующего ряда:

$\psi (z)={\psi }^{(0)}(z)=-\gamma +\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+z}),$

где $\gamma$ — постоянная Эйлера—Маскерони. Это представление справедливо для любого комплексного $z\ne 0,-1,-2,-3,\dots$ (в указанных точках функция $\psi (z)$ имеет сингулярности первого порядка).

Полигамма-функцию также можно определить через сумму ряда

${\psi }^{(m)}(z)=(-1{)}^{m+1}m!\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(z+k{)}^{m+1}},m>0,$

который получается из представления для дигамма-функции дифференцированием по z. Это представление также справедливо для любого комплексного $z\ne 0,-1,-2,-3,\dots$ (в указанных точках функция ${\psi }^{(m)}(z)$ имеет сингулярности порядка (m+1)). Оно может быть записано через дзета-функцию Гурвица,

${\psi }^{(m)}(z)=(-1{)}^{m+1}m!\zeta (m+1,z).$

В этом смысле дзета-функция Гурвица может быть использована для обобщения полигамма-функции на случай произвольного (нецелого) порядка m.

Отметим, что в литературе ${\psi }^{(m)}(z)$ иногда обозначается как ${\psi }_m(z)$ или явным образом указываются штрихи для производных по z. Функция ${\psi }^{\prime }(z)={\psi }^{(1)}(z)$ называется тригамма-функцией, ${\psi }^{″}(z)={\psi }^{(2)}(z)$ — тетрагамма-функцией, ${\psi }^{‴}(z)={\psi }^{(3)}(z)$ — пентагамма-функцией, ${\psi }^{(4)}(z)$ — гексагамма-функцией, и т. д.

Интегральное представление

Полигамма-функция может быть представлена как

${\psi }^{(m)}(z)=(-1{)}^{m+1}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{t^m{e}^{-zt}}{1-e^{-t}}\mathrm{d}t$

Это представление справедливо для Шаблон:Nobr и Шаблон:Nobr. При m=0 (для дигамма-функции) интегральное представление может быть записано в виде

$\psi (z)={\psi }^{(0)}(z)=-\gamma +\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-t}-e^{-zt}}{1-e^{-t}}\mathrm{d}t=-\gamma +\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1-t^{z-1}}{1-t}\mathrm{d}t,$

где $\gamma$ — постоянная Эйлера—Маскерони.

Асимптотические разложения

При $z\to \mathrm{\infty }$ ($|\arg z|<\pi$) справедливо следующее разложение с использованием чисел Бернулли:

${\psi }^{(m)}(z)=(-1{)}^{m-1}[\frac{(m-1)!}{z^m}+\frac{m!}{2z^{m+1}}+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2k+m-1)!B_{2k}}{(2k)!z^{2k+m}}]$

Разложение в ряд Тейлора вблизи аргумента, равного единице, имеет вид

${\psi }^{(m)}(z+1)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{m+k+1}(m+k)!\zeta (m+k+1)\frac{z^k}{k!},$

где ζ обозначает дзета-функцию Римана. Этот ряд сходится при |z| < 1, и он может быть получен из соответствующего ряда для дзета-функции Гурвица.

Частные значения

Значения полигамма-функции при целых и полуцелых значениях аргумента выражаются через дзета-функцию Римана,

$\begin{array}{ccc}{\psi }^{(m)}(1)& =(-1{)}^{m+1}m!\zeta (m+1),& m>0,\\ {\psi }^{(m)}\left(\frac{1}{2}\right)& =(-1{)}^{m+1}m!(2^{m+1}-1)\zeta (m+1),& m>0,\end{array}$

а для дигамма-функции (при $m=0$) —

$\begin{array}{cc}\psi (1)& ={\psi }^{(0)}(1)=-\gamma ,\\ \psi (\frac{1}{2})& ={\psi }^{(0)}\left(\frac{1}{2}\right)=-\gamma -2\ln 2,\end{array}$

где $\gamma$ — постоянная Эйлера–Маскерони.

Чтобы получить значения полигамма-функции при других целых (положительных) и полуцелых значениях аргумента, можно использовать рекуррентное соотношение, приведённое ниже.

Другие формулы

Полигамма-функция удовлетворяет рекуррентному соотношению

${\psi }^{(m)}(z+1)={\psi }^{(m)}(z)+\frac{(-1{)}^{m}m!}{z^{m+1}},$

а также формуле дополнения

${\psi }^{(m)}(1-z)+(-1{)}^{m+1}{\psi }^{(m)}(z)=(-1{)}^m\pi \frac{{\mathrm{d}}^m}{\mathrm{d}{z}^m}\mathrm{ctg}(\pi z).$

Для полигамма-функции кратного аргумента существует следующее свойство:

${\psi }^{(m)}(kz)=\frac{1}{k^{m+1}}\sum _{n=0}^{k-1}{\psi }^{(m)}(z+\frac{n}{k}),m>0$

а для дигамма-функции ($m=0$) к правой части надо добавить lnk,

$\psi (kz)=\ln k+\frac{1}{k}\sum _{n=0}^{k-1}\psi (z+\frac{n}{k}).$

См. также

• Дигамма-функция
• Тригамма-функция

Ссылки

• Шаблон:Книга
• Шаблон:MathWorld