Дигамма-функция

Дигамма-функция $\psi (x)$

В математике дига́мма-фу́нкция $\psi (x)$ определяется как логарифмическая производная гамма-функции:

$\psi (x)=\frac{d}{dx}\ln \mathrm{\Gamma }(x)=\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(x)}{\mathrm{\Gamma }(x)}.$

Она является полигамма-функцией первого порядка, а полигамма-функции высших порядков (тригамма-функция и т.д.) получаются из неё дифференцированием.

Свойства

• Дигамма-функция связана с гармоническими числами соотношением

  $\psi (n)=H_{n-1}-\gamma ,$

где $H_n$ — $n$-е гармоническое число, а $\gamma$ — постоянная Эйлера — Маскерони.

• Формула дополнения

  $\psi (1-x)-\psi (x)=\pi \mathrm{ctg}(\pi x)$

• Рекуррентное соотношение

  $\psi (x+1)=\psi (x)+\frac{1}{x}$

• Разложение в бесконечную сумму

  $\psi (x)=\ln x-\frac{1}{2x}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\zeta (1-2n)}{x^{2n}}$

где $\zeta (x)$ — дзета-функция Римана.

• Логарифмическое разложение

  $\psi (x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n+1}\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\ln (x+k)$

• Теорема Гаусса

  $\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(p/q)}{\mathrm{\Gamma }(p/q)}=-\gamma -\ln (2q)-\frac{\pi }{2}\mathrm{ctg}\left(\frac{\pi p}{q}\right)+2\sum _{0<n<q/2}\cos \left(\frac{2\pi pn}{q}\right)\ln \sin \left(\frac{\pi n}{q}\right)$

при целых $p,q$ с условием $0<p<q$.

• Для всех $z\ne -1,-2,-3,\dots$ справедливо разложения в ряд:

  $\psi (z+1)=-\gamma +\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z}{n(n+z)}.$

Ссылки

• Шаблон:MathWorld
• Свойства дигамма-функцииШаблон:Ref-en