Гармоническое число

Гармоническое число $H_{n,1}$, где $n=\lfloor x\rfloor$ (красная линия) и его асимптотический предел $\gamma +\ln (x)$ (синяя линия).

В математике n-м гармоническим числом называется сумма обратных величин первых n последовательных чисел натурального ряда:

$H_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}.$

Гармонические числа являются частичными суммами гармонического ряда.

Изучение гармонических чисел началось в античности. Они имеют важное значение в различных областях теории чисел и теории алгоритмов и, в частности, тесно связаны с дзета-функцией Римана.

Альтернативные определения

• Гармонические числа можно определить рекуррентно следующим образом:

  $\{\begin{array}{c}{H}_n=H_{n-1}+\frac{1}{n}\\ H_1=1\end{array}$

• Также верно соотношение:

  $H_n=\gamma +\psi (n+1)=\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(n)}{\mathrm{\Gamma }(n)}+\frac{1}{n}+\gamma$,

  где $\psi (n)$ — дигамма-функция, $\gamma =-\psi (1)$ — постоянная Эйлера — Маскерони.

• Еще соотношения:

  $H_n=\sum _{k=1}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\frac{(-1{)}^{k+1}}{k}$

  $H_n=n\sum _{k=1}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k-1})\frac{(-1{)}^{k+1}}{k^2}=(-1{)}^{n-1}n{\mathrm{\Delta }}^{n-1}{1}^{-2},$

  где ${\mathrm{\Delta }}^n{1}^{-2}={\mathrm{\Delta }}^n{x}^{-2}$ в точке $x=1$ - верхняя конечная разность n-го порядка функции $f(x)=\frac{1}{x^2}$.

Дополнительные представления

Нижеследующие формулы могут быть использованы для вычисления гармонических чисел (в том числе и в точках, отличных от точек натурального ряда):

• интегральные представления:

  $H_x=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1-t^x}{1-t}dt,Re(x)>-1$

• предельные представления:

  $H_x=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\ln (n)-\sum _{k=0}^n\frac{1}{x+k+1})+\gamma$

  $H_x=x\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(k+1)(x+k+1)}$;

• разложение в ряд Тейлора в точке $x=0$:

  $H_x=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{k+1}\zeta (k+1)x^k=\zeta (2)x-\zeta (3)x^2+\zeta (4)x^3-\zeta (5)x^4+\cdots ,$

  где $\zeta (x)$ — дзета-функция Римана;

• асимптотическое разложение:

  $H_x=\gamma +\ln (x)+\frac{1}{2x}-\frac{1}{12x^2}+\frac{1}{120x^4}-\frac{1}{252x^6}+\frac{1}{240x^8}-\frac{1}{132x^{10}}+\cdots$.

Производящая функция

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{H}_k{z}^k=-\frac{\ln (1-z)}{1-z}$

Свойства

Значения от нецелого аргумента

• $H_{1/2}=2-2\ln 2$
• $H_{1/3}=3-\frac{3\ln 3}{2}-\frac{\pi }{2\sqrt{3}}$
• $H_{1/4}=4-3\ln 2-\frac{\pi }{2}$
• $H_{1/5}=5-\frac{5\ln 5}{4}-\frac{1}{2}\sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{5}}}\pi -\frac{\sqrt{5}}{2}\ln \phi ,$

где $\phi$ — золотое сечение.

• $H_{1/7}=7-\ln 14-\frac{\pi }{2}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\pi }{7}-2\cos \left(\frac{\pi }{7}\right)\ln (\cos \frac{\pi }{14})+2\sin \left(\frac{3\pi }{14}\right)\ln (\sin \frac{\pi }{7})-2\sin \left(\frac{\pi }{14}\right)\ln (\cos \frac{3\pi }{14})$

Суммы, связанные с гармоническими числами

• $\sum _{k=1}^n{H}_k=(n+1)H_n-n=(n+1)(H_{n+1}-1)$
• $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{H_k}{k}=\mathrm{\infty }$
• $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{H_k}{k^2}=2\zeta (3)$
• $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{H_k}{k^3}=\frac{1}{2}\zeta (2{)}^2=\frac{5}{4}\zeta (4)=\frac{{\pi }^4}{72}$
• $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{H_k}{k^4}=3\zeta (5)-\zeta (2)\zeta (3)=3\zeta (5)-\frac{{\pi }^2}{6}\zeta (3)$

Тождества, связанные с гармоническими числами

• $(H_n{)}^3=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\sum _{k=1}^n\frac{1}{ijk}$
• $\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{n-1}\sum _{k=j+1}^1\frac{1}{ijk}=\frac{1}{2}{H}_n(H_n^2-{\zeta }_n(2))$, где ${\zeta }_n(2)=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k^2}$
• ${\zeta }_n(2)=(H_n{)}^2-\sum _{k=1}^{n-1}\frac{2H_k}{k+1}-1$, где ${\zeta }_n(2)=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k^2}$
• $H_{n^2}+1=(H_n{)}^2+\sum _{k=1}^{n-1}(H_{(k+1{)}^2-1}-\frac{2H_k}{k+1}-H_{k^2})$

Приближённое вычисление

С помощью формулы суммирования Эйлера-Маклорена получаем следующую формулу:

$H_n=\ln n+\gamma +\frac{1}{2n}+\sum _{k=1}^m\frac{B_{2k}}{2k{n}^{2k}}-{\theta }_{m,n}\frac{B_{2m+2}}{(2m+2)n^{2m+2}},$

где $0<{\theta }_{m,n}<1$, $\gamma$ — постоянная Эйлера, которую можно вычислить быстрее из других соображенийШаблон:Каких, а $B_k$ — числа Бернулли.

Теоретико-числовые свойства

• Теорема Вольстенхольма утверждает, что для всякого простого числа $p>3$ выполняется сравнение:

  $H_{p-1}\equiv 0(\mathrm{mod}{p}^2).$

Некоторые значения гармонических чисел

$\begin{array}{ccc}{H}_1& =& 1\\ \\ H_2& =& \frac{3}{2}& =& 1,5\\ \\ H_3& =& \frac{11}{6}& \approx & 1,833\\ \\ H_4& =& \frac{25}{12}& \approx & 2,083\\ \\ H_5& =& \frac{137}{60}& \approx & 2,283\end{array}$

$\begin{array}{ccccc}{H}_6& =& \frac{49}{20}& =& 2,45\\ \\ H_7& =& \frac{363}{140}& \approx & 2,593\\ \\ H_8& =& \frac{761}{280}& \approx & 2,718\\ \\ H_{10^3}& \approx & 7,485\\ \\ H_{10^6}& \approx & 14,393\end{array}$

Числитель и знаменатель несократимой дроби, представляющей собой Шаблон:Math-e гармоническое число, являются Шаблон:Math-ми членами целочисленных последовательностей Шаблон:OEIS short и Шаблон:OEIS short, соответственно.

Приложения

В 2002 году Lagarias доказал, что гипотеза Римана о нулях дзета-функции Римана эквивалентна утверждению, что неравенство

$\sigma (n)\le H_n+\ln (H_n)e^{H_n}$

верно при всех целых $n\ge 1$ со строгим неравенством при $n>1$, где $\sigma (n)$ — сумма делителей числа $n$.

См. также

• Теорема Вольстенхольма