Тройное произведение Якоби

Тройное произведение Якоби — это математическое тождество:

$\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(1-x^{2m})(1+x^{2m-1}{y}^2)(1+\frac{x^{2m-1}}{y^2})=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}^{n^2}{y}^{2n},$

для комплексных чисел x и y с $|x|<1$ и $y\ne 0$.

Тождество предложил Карл Густав Якоб ЯкобиШаблон:Sfn в труде Fundamenta Nova Theoriae Functionum Ellipticarum (Новые принципы в теории эллиптических функций).

Тождество тройного произведения Якоби является Шаблон:Не переведено 5 для аффинных корней системы типа A₁ и является Шаблон:Не переведено 5 для соответствующей аффинной Шаблон:Не переведено 5.

Свойства

Доказательство Якоби основывается на Шаблон:Не переведено 5 Эйлера, которая сама является частым случаем тождества тройного произведения Якоби.

Пусть $x=q\sqrt{q}$ и $y^2=-\sqrt{q}$. Тогда имеем

$\varphi (q)=\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(1-q^m)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{q}^{\frac{3n^2-n}{2}}.$

Тройное произведение Якоби позволяет также переписать тета-функцию Якоби как бесконечное произведение:

Пусть $x=e^{i\pi \tau }$ и $y=e^{i\pi z}.$

Тогда тэта-функцию Якоби

$\vartheta (z;\tau )=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\pi \mathrm{i}{n}^2\tau +2\pi \mathrm{i}nz}$

можно переписать в виде

$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{y}^{2n}{x}^{n^2}.$

Используя тождество тройного произведения Якоби, мы можем записать тэта-функцию как произведение

$\vartheta (z;\tau )=\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(1-e^{2m\pi \mathrm{i}\tau })[1+e^{(2m-1)\pi \mathrm{i}\tau +2\pi \mathrm{i}z}][1+e^{(2m-1)\pi \mathrm{i}\tau -2\pi \mathrm{i}z}].$

Существует много различных обозначений, используемых для выражения тройного произведения Якоби. Оно принимает краткую форму, если его выразить в терминах q-символов Похгаммера:

$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{q}^{\frac{n(n+1)}{2}}{z}^n=(q;q{)}_{\mathrm{\infty }}{(-\frac{1}{z};q)}_{\mathrm{\infty }}(-zq;q{)}_{\mathrm{\infty }},$

где $(a;q{)}_{\mathrm{\infty }}$ — бесконечный q-символ Похгаммера.

Формула принимает особенно элегантный вид, когда выражается в терминах тета-функции Рамануджана. Для $|ab|<1$ её можно переписать как

$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}^{\frac{n(n+1)}{2}}{b}^{\frac{n(n-1)}{2}}=(-a;ab{)}_{\mathrm{\infty }}(-b;ab{)}_{\mathrm{\infty }}(ab;ab{)}_{\mathrm{\infty }}.$

Доказательство

Для аналитического случая см. книгу АпостолаШаблон:Sfn, первое издание которой было опубликовано в 1976. См. также ссылку ниже для доказательства, стимулированного физиками.

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья

Ссылки

• Краткое комбинаторное доказательство тождества, стимулированное физиками.