Тета-функция Рамануджана

Тета-функция Рамануджана обобщает тета-функции Якоби, не разрушая основные их свойства. В частности, тройное произведение Якоби принимает особенно элегантный вид, когда записывается в терминах тета-функции Рамануджана. Функция носит имя Сриниваса Рамануджана Айенгора.

Определение

Тета-функция Рамануджана определяется как

f (a, b) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} a^{n (n + 1) / 2} b^{n (n - 1) / 2}

для |ab| < 1. Тождество тройного произведения Якоби тогда принимает вид

f (a, b) = (- a; a b)_{\infty} (- b; a b)_{\infty} (a b; a b)_{\infty} .

Здесь выражение $(a; q)_{n}$ означает q-символ Похгаммера. Тождества, вытекающие из этого

f (q, q) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} q^{n^{2}} = (- q; q^{2})_{\infty}^{2} (q^{2}; q^{2})_{\infty}

f (q, q^{3}) = \sum_{n = 0}^{\infty} q^{n (n + 1) / 2} = (q^{2}; q^{2})_{\infty} (- q; q)_{\infty}

f (- q, - q^{2}) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} (- 1)^{n} q^{n (3 n - 1) / 2} = (q; q)_{\infty}

Последнее тождество является Шаблон:Не переведено 5, которая тесно связана с Шаблон:Не переведено 5. Тета-функция Якоби может быть записана в терминах тета-функции Рамануджана:

ϑ (w, q) = f (q w^{2}, q w^{- 2})

Тета-функция Рамануджана используется для определения критических размерностей в теории бозонных струн, теории суперструн и М-теории.