q-символ Похгаммера

Q-символ Похгаммера, который называется также сдвинутым q-факториаломШаблон:SfnШаблон:Sfn, это q-аналог символа Похгаммера и определяется он как

$(a;q{)}_n=\prod _{k=0}^{n-1}(1-a{q}^k)=(1-a)(1-aq)(1-a{q}^2)\cdots (1-a{q}^{n-1})$,

при этом

$(a;q{)}_0=1$

по определению. Q-символ Похгаммера является главным строительным блоком в строительстве q-аналогов. Например, в теории Шаблон:Не переведено 5 q-символ Похгаммера играет роль, какую играет обычный символ Похгаммера в теории Шаблон:Не переведено 5.

В отличие от обычного символа Похгаммера, q-символ Похгаммера может быть расширен до бесконечного произведения:

$(a;q{)}_{\mathrm{\infty }}=\prod _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(1-a{q}^k).$

Это аналитическая функция от q внутри единичного круга и может восприниматься как формальный степенной ряд от q. Специальный случай

$\phi (q)=(q;q{)}_{\mathrm{\infty }}=\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(1-q^k)$

известен как Шаблон:Нп5 и играет важную роль в комбинаторике, теории чисел и теории модулярных форм.

Тождества

Конечное произведение можно выразить через бесконечное:

$(a;q{)}_n=\frac{(a;q{)}_{\mathrm{\infty }}}{(a{q}^n;q{)}_{\mathrm{\infty }}},$

что расширяет определение для отрицательных целых n. Таким образом, для неотрицательного n имеем

$(a;q{)}_{-n}=\frac{1}{(a{q}^{-n};q{)}_n}=\prod _{k=1}^n\frac{1}{(1-a/q^k)}$

и

$(a;q{)}_{-n}=\frac{(-q/a{)}^n{q}^{n(n-1)/2}}{(q/a;q{)}_n}.$

Q-символ Похгаммера участвует во многих тождествах с q-рядами, в частности в бесконечном расширении рядов

$(x;q{)}_{\mathrm{\infty }}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{q}^{n(n-1)/2}}{(q;q{)}_n}{x}^n$

и

$\frac{1}{(x;q{)}_{\mathrm{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{(q;q{)}_n}$,

которые являются частными случаями q-биномиальной теоремы:

$\frac{(ax;q{)}_{\mathrm{\infty }}}{(x;q{)}_{\mathrm{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(a;q{)}_n}{(q;q{)}_n}{x}^n.$

Фридрих Карпелевич нашёл следующее тождество (см. статью Ольшанецкого и РоговаШаблон:Sfn для доказательства):

$\frac{(q;q{)}_{\mathrm{\infty }}}{(z;q{)}_{\mathrm{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{q}^{n(n+1)/2}}{(q;q{)}_n(1-z{q}^n)},|z|<1.$

Комбинаторная интерпретация

Q-символ Похгаммера тесно связан с перечислительной комбинаторикой разбиений. Коэффициент при $q^m{a}^n$ в

$(a;q{)}_{\mathrm{\infty }}^{-1}=\prod _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(1-a{q}^k{)}^{-1}$

равен числу разбиений m на не более чем n частей.

Поскольку это то же самое, что разбиение m на части, каждая из которых не превосходит n, получаем следующее тождество:

$(a;q{)}_{\mathrm{\infty }}^{-1}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\prod _{j=1}^k\frac{1}{1-q^j}\right)a^k=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{a^k}{(q;q{)}_k}$,

как в разделе выше.

Коэффициент при $q^m{a}^n$ в

$(-a;q{)}_{\mathrm{\infty }}=\prod _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(1+a{q}^k)$

равен числу разбиений числа m на n или n-1 различных частей.

Если удалить треугольное разбиение с n − 1 частями из такого разбиения, мы останемся с некоторым разбиением на не более чем n частей. Это даёт сохраняющее веса биекцию между множеством разбиений на n или n − 1 различных частей и множество пар, состоящих из треугольного разбиения, содержащего n − 1 частей, и разбиения на не более чем n частей. Это приводит к тождеству:

$(-a;q{)}_{\mathrm{\infty }}=\prod _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(1+a{q}^k)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\left(q^{(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{2})}\prod _{j=1}^k\frac{1}{1-q^j}\right)a^k=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^{(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{2})}}{(q;q{)}_k}{a}^k$

также описанному выше. Обратная (в смысле 1/f) функция для $(q{)}_{\mathrm{\infty }}:=(q;q{)}_{\mathrm{\infty }}$ возникает аналогичным образом как производящая функция для функции разбиения числа, $p(n)$, которая также разлагается в следующие два q-рядаШаблон:Sfn:

$\frac{1}{(q;q{)}_{\mathrm{\infty }}}=\sum _{n\ge 0}p(n)q^n=\sum _{n\ge 0}\frac{q^n}{(q;q{)}_n}=\sum _{n\ge 0}\frac{q^{n^2}}{(q;q{)}_n^2}.$

Q-биномиальная теорема сама может быть доказана с помощью слегка большего использования похожих комбинаторных аргументов.

Соглашение о множественных аргументах

Поскольку тождества, использующие q-символы Похгаммера, часто используют произведение многих символов, принято соглашение записывать произведение в виде одного символа с несколькими аргументами:

$(a_1,a_2,\dots ,a_m;q{)}_n=(a_1;q{)}_n(a_2;q{)}_n\dots (a_m;q{)}_n.$

Q-ряды

Q-ряд является рядом, в котором коэффициенты являются функциями от q, обычно в виде выражений с $(a;q{)}_n$Шаблон:Sfn. Ранние результаты принадлежат Эйлеру, Гауссу и Коши. Систематичное изучение начал Эдуард Гейне (1843)Шаблон:Sfn.

Связь с другими q-функциями

Принимая во внимание, что

$\underset{q\to 1}{\lim }\frac{1-q^n}{1-q}=n,$

мы определяем q-аналог числа n, известный также как q-скобка или q-число числа n, равным

$[n{]}_q=\frac{1-q^n}{1-q}.$

Отсюда мы можем определить q-аналог факториала, q-факториал

$[n{]}_q!$	$=\prod _{k=1}^n[k{]}_q$
	$=[1{]}_q[2{]}_q\cdots [n-1{]}_q[n{]}_q$
	$=\frac{1-q}{1-q}\frac{1-q^2}{1-q}\cdots \frac{1-q^{n-1}}{1-q}\frac{1-q^n}{1-q}$
	$=1(1+q)\cdots (1+q+\cdots +q^{n-2})(1+q+\cdots +q^{n-1})$
	$=\frac{(q;q{)}_n}{(1-q{)}^n}.$

Снова можно обнаружить, что обычный факториал равен пределу при q, стремящемся к 1. Это можно интерпретировать как число флагов в n-мерном векторном пространстве над полем с q элементами, а переход q в пределе к 1 даёт интерпретацию упорядочения как флага в векторном пространстве над Шаблон:Не переведено 5.

Произведение отрицательных целых q-скобок можно выразить в терминах q-факториала следующим образом:

$\prod _{k=1}^n[-k{]}_q=\frac{(-1{)}^n[n{]}_q!}{q^{n(n+1)/2}}$

От q-факториалов можно перейти к определению q-биномиальных коэффициентов, известных также как гауссовы коэффициенты, гауссовы многочлены или гауссовы биномиальные коэффициенты, следующим образом

${\left[\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right]}_q=\frac{[n{]}_q!}{[n-k{]}_q![k{]}_q!},$

откуда легко видеть, что треугольник этих коэффициентов симметричен в том смысле, что ${\left[\begin{array}{c}n\\ m\end{array}\right]}_q={\left[\begin{array}{c}n\\ n-m\end{array}\right]}_q$ для всех $0⩽m⩽n$.

Можно показать, что

$\begin{array}{cc}{\left[\begin{array}{c}n+1\\ k\end{array}\right]}_q& ={\left[\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right]}_q+q^{n-k+1}{\left[\begin{array}{c}n\\ k-1\end{array}\right]}_q\\ & ={\left[\begin{array}{c}n\\ k-1\end{array}\right]}_q+q^k{\left[\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right]}_q.\end{array}$

Можно заметить из предыдущих рекурсивных отношений, что следующие варианты $q$-биномиальной теоремы являются расширениями в терминах этих коэффициентовШаблон:Sfn:

$\begin{array}{cc}(z;q{)}_n& =\sum _{j=0}^n{\left[\begin{array}{c}n\\ j\end{array}\right]}_q(-z{)}^j{q}^{(\genfrac{}{}{0ex}{}{j}{2})}=(1-z)(1-qz)\cdots (1-z{q}^{n-1})\\ (-q;q{)}_n& =\sum _{j=0}^n{\left[\begin{array}{c}n\\ j\end{array}\right]}_{q^2}{q}^j\\ (q;q^2{)}_n& =\sum _{j=0}^{2n}{\left[\begin{array}{c}2n\\ j\end{array}\right]}_q(-1{)}^j\\ \frac{1}{(z;q{)}_{m+1}}& =\sum _{n\ge 0}{\left[\begin{array}{c}n+m\\ n\end{array}\right]}_q{z}^n.\end{array}$

Можно получить q-аналог гамма-функции, называемый Шаблон:Не переведено 5 и определённый как

${\mathrm{\Gamma }}_q(x)=\frac{(1-q{)}^{1-x}(q;q{)}_{\mathrm{\infty }}}{(q^x;q{)}_{\mathrm{\infty }}}$

Функция сходится к обычной гамма-функции при q, стремящемся к 1 изнутри диска. Заметим, что

${\mathrm{\Gamma }}_q(x+1)=[x{]}_q{\mathrm{\Gamma }}_q(x)$

для любого x и

${\mathrm{\Gamma }}_q(n+1)=[n{]}_q!\frac{}{}.$

для неотрицательных целочисленных значений n. Альтернативно, функцию можно взять как расширение q-факториала в системе вещественных чисел.

См. также

• Шаблон:Не переведено 5
• Шаблон:Не переведено 5
• Тета-функция Якоби
• Символ Похгаммера
• q-производная
• Шаблон:Не переведено 5
• Шаблон:Не переведено 5
• Шаблон:Не переведено 5
• Шаблон:Не переведено 5
• Шаблон:Не переведено 5

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья

Ссылки

• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:MathWorld