q-производная

Q-производная или производная Джексона — это q-аналог обычной производной, который предложил Франк Хилтон Джексон. Q-производная обратна q-интегрированию Джексона. Другие виды q-производной можно найти в статье К.С. Чанга, В.С Чанга, С.Т. Нама и Х.Дж. КанаШаблон:Sfn.

Определение

Q-производная функции f(x) определяется как

${\left(\frac{d}{dx}\right)}_{q}f(x)=\frac{f(qx)-f(x)}{qx-x}.$

и часто записывается как $D_{q}f(x)$. Q-производная известна также как производная Джексона.

Формально, в терминах оператора сдвига Лагранжа в логарифмических переменных, это равносильно оператору

$D_q=\frac{1}{x}\frac{q^{\frac{d}{d(\ln x)}}-1}{q-1},$

который приводит к обычной производной, → ^d⁄_dx при q → 1.

Оператор очевидно линеен,

$D_q(f(x)+g(x))=D_{q}f(x)+D_{q}g(x).$

Q-производная имеет правило для произведения, аналогичное правилу произведения для обычной производной в двух эквивалентных формах

$D_q(f(x)g(x))=g(x)D_{q}f(x)+f(qx)D_{q}g(x)=g(qx)D_{q}f(x)+f(x)D_{q}g(x).$

Аналогично, q-производная удовлетворяет правилу для деления,

$D_q(f(x)/g(x))=\frac{g(x)D_{q}f(x)-f(x)D_{q}g(x)}{g(qx)g(x)},g(x)g(qx)\ne 0.$

Есть также правило, подобное правилу обычного дифференцирования суперпозиции функций. Пусть $g(x)=c{x}^k$. Тогда

$D_{q}f(g(x))=D_{q^k}(f)(g(x))D_q(g)(x).$

Собственная функция q-производной — это Шаблон:Не переведено 5 e_q(x).

Связь с обычными производными

Q-дифференцирование напоминает обычное дифференцирование с курьёзными отличиями. Например, q-производная одночлена равна

${\left(\frac{d}{dz}\right)}_q{z}^n=\frac{1-q^n}{1-q}{z}^{n-1}=[n{]}_q{z}^{n-1}$,

где $[n{]}_q$ — q-скобка числа n. Заметим, что $\underset{q\to 1}{\lim }[n{]}_q=n$, так что обычная производная возвращается в пределе.

Для функции n-ая q-производная может быть задана как:

$(D_q^{n}f)(0)=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\frac{(q;q{)}_n}{(1-q{)}^n}=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}[n{]}_q!$

при условии, что обычная n-ая производная функции f существует в x = 0. Здесь $(q;q{)}_n$ — q-символ Похгаммера, а $[n{]}_q!$ — q-факториал. Если функция $f(x)$ аналитическая, мы можем использовать формулу Тейлора для определения $D_q(f(x))$

$D_q(f(x))=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(q-1{)}^k}{(k+1)!}{x}^k{f}^{(k+1)}(x).$

Q-аналог разложения Тейлора функции около нуля:

$f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{f}^{(n)}(0)\frac{z^n}{n!}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(D_q^{n}f)(0)\frac{z^n}{[n{]}_q!}$

См. также

• Производная (математика)
• Шаблон:Не переведено 5
• Шаблон:Не переведено 5
• Шаблон:Не переведено 5
• Шаблон:Не переведено 5
• Энтропия Цаллиса

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья

Литература для дальнейшего чтения

• J. Koekoek, R. Koekoek, A note on the q-derivative operator, (1999) ArXiv math/9908140
• Thomas Ernst, The History of q-Calculus and a new method,(2001),