Формальный степенной ряд

Формальный степенно́й ряд — формальное алгебраическое выражение вида:

$F(X)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{X}^n,$

в котором коэффициенты $a_n$ принадлежат некоторому кольцу $R$.

В отличие от степенных рядов в анализе, формальным степенным рядам не придаётся числовых значений и сходимость таких рядов не рассматривается.

Формальные степенные ряды исследуются в алгебре, топологии, комбинаторике. Кроме того, они являются удобным инструментом при исследовании различных гладких объектов, например, в дифференциальной топологии и теории дифференциальных уравнений.

Основные понятия

Алгебраические операции

На формальных степенных рядах можно определить операции сложения ($+$), умножения ($\cdot$), формального дифференцирования (${\displaystyle }$) и композиции ($\circ$) следующим образом. Пусть

$F(X)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{X}^n,G(X)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n{X}^n,H(X)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{X}^n.$

Тогда

$H=F+G⟺\mathrm{\forall }n{c}_n=a_n+b_n;$

$H=F\cdot G⟺\mathrm{\forall }n{c}_n=\sum _{k+l=n}{a}_k{b}_l;$

$H=F^{\prime }⟺\mathrm{\forall }n{c}_n=(n+1)a_{n+1};$

$H=F\circ G⟺\mathrm{\forall }n{c}_n=\sum _{s=1}^n{a}_s\sum _{k_1+\dots +k_s=n}{b}_{k_1}{b}_{k_2}\dots b_{k_s}$ (при этом необходимо, чтобы $b_0=0$).

Таким образом, формальные степенные ряды над кольцом $R$ сами образуют кольцо, обозначаемое $R[[X]]$.

Метрика и топология

В кольце $R[[X]]$ также можно задать топологию, порождаемую следующей метрикой:

$d((a_n),(b_n))=2^{-k},$

где $k$ — наименьшее натуральное число такое, что $a_k\ne b_k$.

Можно доказать, что определённые умножение и сложение в этой топологии являются непрерывными, и тогда, формальные степенные ряды с определённой топологией образуют топологическое кольцо.

Обратимые элементы

Формальный ряд

$F(X)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{X}^n$

в $R[[X]]$ является обратимым относительно умножения тогда и только тогда, когда $a_0$ является обратимым в $R$. Это является необходимым, поскольку свободный член произведения равен $a_0{b}_0$, и достаточным, поскольку коэффициенты обращённого ряда $G(X)$ определяются по формуле:

$\begin{array}{cc}{b}_0& =\frac{1}{a_0},\\ b_n& =-\frac{1}{a_0}\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_{n-i},\mathrm{\forall }n⩾1.F(X)G(X)=1\end{array}$

Если же $F(0)=0$, а также $F^{\prime }(0)=0$, то найдётся ряд $G(X)$ (аналогично $H(X)$), обратный для него относительно композиции, т.е. такой, что $F(G(X))=X$ (аналогично $H(F(X))=X)$).

При этом будет выполнено $G(0)=0$ (аналогично $H(0)=0$). Оставшиеся коэффициенты ряда $G(X)$ ($H(X)$) можно выразить через коэффициенты $F(X)$ пошагово дифференцируя равенство $F(G(X))=X$ (аналогично $H(F(X))=X)$) и подставляя в него $X=0$.

Свойства

• Максимальными идеалами кольца формальных степенных рядов являются идеалы $M$, для которых $M\cap R$ является максимальным идеалом в $R$ и $M$ есть порождение $X$ и $M\cap R$.
• Если $R$ является локальным кольцом, то локальным кольцом является также $R[[X]]$.
• $R$ — нётерово кольцо, то $R[[X]]$ также является кольцом Нётер.
• Если $R$ — область целостности, то $R[[X]]$ также будет областью целостности.
• Метрическое пространство $(R[[X]],d)$ является полным.
• Кольцо $R[[X]]$ является компактным тогда, когда кольцо $R$ является конечным.
• Лемма Бореля — Уитни: для любого формального ряда существует такая бесконечно-гладкая функция, ряд Тейлора которой совпадает с данным формальным рядом.

См. также

• Степенной ряд
• Производящая функция последовательности

Ссылки

• Формальные степенные ряды на сайте PlanetMath.
• Павлова Н. Г., Ремизов А. О. Гладкие функции, формальные ряды и теоремы Уитни // Математическое образование. — 2016. — № 3 (79). — стр. 49—65.